２元２次形式，ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2において，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2＝３（ｘ＋ｙ）^2−８ｙ^2

であるから，正の値と負の値の両方を取り得る．

　ｆ（１，１）＝４であるから，ｆ（ｘ，ｙ）は４を表現することはわかるが，逆問題，たとえば，ｆ（ｘ，ｙ）＝７となる（ｘ，ｙ）を見つけることはできるだろうか？

　（その１１）（その１２）ではトポグラフの描き方を説明していなかったが，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2＝３（ｘ＋ｙ）^2−８ｙ^2

のトポグラフは正の値をとる領域と負の値をとる領域の分ける周期的な川になる．

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【１】トポグラフの描き方

　トポグラフは，等差数列の規則に従って簡単に描くことができる．トポグラフのあるひとつの辺を取り囲む４つの面を考える．辺の左岸をａ，右岸をｂとすると前岸にはａ＋ｂ＋ｈ，後岸にはａ＋ｂ−ｈを記入する．ここで，

　　ａ＋ｂ−ｈ，ａ＋ｂ，ａ＋ｂ＋ｈ

は等差数列をなすことになる（公差ｈ）．ｘｙの係数が等差数列の規則に現れる公差ｈになる．

　前岸と後岸の和＝（左岸と右岸の和）×２となるが，この手順を繰り返すと樹木のような閉路のない連結グラフができる．それがトポグラフである．

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【２】３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2のトポグラフ

　　ｆ（１，０）＝３

　　ｆ（０，１）＝−５

　　ｆ（１，１）＝４

　数値（３，−５，４）に囲まれた点からスタートする．左岸に−５，後岸に３，右岸４とすると，

　　ｘ＋３＝（−５＋４）×２

より，前岸は−５となる．次に，左岸に−５，後岸に−５，右岸４とすると，

　　ｘ−５＝（−５＋４）×２

より，前岸は３となる．ここで，再び数値（３，−５，４）に囲まれた点が表れ，周期的となることがわかる．

　さらに繰り返すと，トポグラフの左岸には

　　−５，−８，−２４，−２９，−５３，−６０，−６９，−９２，−１０１，・・・

右岸には

　　３，４，１９，４０，４３，６７，７５，１１０，１１５，１２０，・・・

が並び，トポグラフは正の値をとる領域と負の値をとる領域の分けることも理解される．

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【３】２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2のトポグラフ

　　ｆ（ｙ，ｚ）＝２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2＝２（ｙ＋ｚ／４）^2＋３１ｚ^2／８は正定値２次形式となることがわかる．

　　ｆ（１，０）＝２

　　ｆ（０，１）＝４

　　ｆ（１，１）＝７

　数値（２，４，７）に囲まれた点からスタートする．左岸に２，後岸に７，右岸４とすると，

　　ｘ＋７＝（２＋４）×２

より，前岸は５となる．次に，左岸に５，後岸に２，右岸４とすると，

　　ｘ＋２＝（５＋４）×２

より，前岸は１６となる．

　３岸の構成を変えることによって，トポグラフには

　　２，４，５，７，１０，１４，１６，１９，２０，２５，２８，３２，・・・

が並ぶことになるのである．

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