２元２次形式，ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2において，ｆ（１，１）＝４であるから，ｆ（ｘ，ｙ）は４を表現することはわかるが，逆問題，たとえば，ｆ（ｘ，ｙ）＝７となる（ｘ，ｙ）を見つけることはできるだろうか？

［定理］整数ａ，ｂ，ｈ，ｎが与えられたとき

　　ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＝ｎ

が整数解（ｘ，ｙ）をもつか否かを判定するアルゴリズムが存在する．

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2

　　ｆ（１，０）＝ａ

　　ｆ（０，１）＝ｂ

　　ｆ（１，１）＝ｈ＋ａ＋ｂ

を満たす２次の斉次関数はひとつしかない．ｘｙの係数ｈを公差とするトポグラフを描くアルゴリズムを紹介したい．

　［参］コンウェイ「素数が香り，形がきこえる」シュプリンガー・フェアラーク東京

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　　ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2

　　ｆ（１，０）＝３

　　ｆ（０，１）＝−５

　　ｆ（１，１）＝４

の場合，公差は６で，トポグラフの左岸には

　　−５，−８，−２４，−２９，−５３，−６０，−６９，−９２，−１０１，・・・

右岸には

　　３，４，１９，４０，４３，６７，７５，１１０，１１５，１２０，・・・

が並ぶ．

　これらトポグラフに現れる数に平方数を掛けると，この２次形式のとる値をすべて得ることができる．したがって，

　　３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2＝７

　　３ｘ^2＋６ｘｙ−５ｙ^2＝−１００

などは整数の範囲では解をもたないことがわかる．

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