どのような整数ｎが

　　ｎ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2

の形式によって表現されるのであろうか？

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【１】２元２次形式

　　Ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　　（Ｄ＝ｂ^2−ａｃ）

を線形変換

　　［ｘ］＝［α，β］［ｘ’］

　　［ｙ］＝［γ，δ］［ｙ’］

すると

　　Ｐ’＝ａ’ｘ’^2＋２ｂ’ｘ’ｙ’＋ｃ’ｙ’^2　　　（Ｄ’＝ｂ’^2−ａ’ｃ’）

　　Ｄ’＝ｒ^2Ｄ，ｒ＝αδ−βγ

となる．ここで，判別式Ｄは特別な仕方で変化する量（Ｄ’＝ｒ^2Ｄ）であって，もしｒ^2＝１ならば変化しない不変式である．

　ｘ^2＋ｙ^2は４ｎ＋１型素数をすべて表現し，どの４ｎ＋３型素数も表現しない．２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」であるが，フェルマーはまた，

　　「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

　　「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

　　「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することを発見した．ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2，・・・などの発見は，類体論の序曲をなすものといえる．

　一般に

　　Ｎ＝ｘ^2±Ｄｙ^2

によって表現される数Ｎの約数ｐは，同一の判別式Ｄをもつ

　　ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　　（Ｄ＝ｂ^2−ａｃ）

によって表現されることから，ｘ^2±Ｄｙ^2を主形式と呼ぶ．

［補］方程式ｘ^2＋ｙ^2＝ｎの整数解の個数は，ｎの４ν＋１型の約数の個数と４ν＋３型の約数の個数との差の４倍に等しい．方程式ｘ^2＋２ｙ^2＝ｎの整数解の個数は，ｎの８ν＋１型または８ν＋３型の約数の個数と８ν＋５型または８ν＋７型の約数の個数との差の２倍に等しい

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【２】２元２次形式による整数の表現と１５の定理

　１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値２元２次形式

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ

が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての整数を表すことを示した（１５の定理）．

　もっと限定していえば

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の９つの数を表現するならば，すべての整数を表現するという定理である．

　この定理はルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができる」も内包していて，

　　１＝１^2，２＝１^2＋１^2，３＝１^2＋１^2＋１^2，５＝２^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2，１０＝３^2＋１^2

　　１４＝３^2＋２^2＋１^2，１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

　５変数２次形式，たとえば，

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2

はどの整数も表すことができる．

　それに対して，普遍的な３変数２次形式は存在しない．たとえば，

　　ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2

は１から３０までの整数をすべて表すが，３１を表すことはできない．他の３元２次形式はこんなにうまい具合にはなっておらず，３１以下の整数の中のどれかを表すことができないのである．

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［補］ｎが判別式ｄのある２次形式で表現されるための必要十分条件は

　　ｘ^2＝ｄ　　（ｍｏｄ　４ｎ）

が解をもつことである．

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