【１】正定値ｎ元２次形式の最小値の上界

　ガウスは正定値２元２次形式

　　Ｐ＝ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2　　　（ｘ，ｙは整数）

に座標軸のなす角の余弦がｂ／√ａｃのとき，ある点Ｐと原点との距離の２乗であるという幾何学的解釈を与えている．これにより全平面は平行四辺形の格子に分割され，Ｄ＝｜ｂ^2−ａｃ｜は基本平行四辺形の面積の２乗に等しくなる．３元２次形式の場合は，平行四辺形は平行六面体に置き換えられる．

　　Ｐ＝Σａijｘiｘj　　　（ａji＝ａij）

　　　　［ａ11，ａ12，・・・，ａ1n］

　　Ｄ＝［ａ21，ａ22，・・・，ａ2n］

　　　　［・・・・・・・・・・・・］

　　　　［ａn1，ａn2，・・・，ａnn］

　与えられた判別式（行列式）Ｄをもつ正定値ｎ元２次形式Ｐにおいて，係数を連続的に変化させると最小値もまた連続的に変化する．どれだけ小さくすることができるか？

　１８４５年頃，エルミートはラグランジュの簡約理論を一般化し，正定値ｎ元２次形式の最小値の上界が（４／３）^(n-1)/2Ｄ^1/nであることを示し，さらに２（Ｄ／（ｎ＋１））^1/nで置き換えられるであろうと予想した．

　コルキンとゾロタレフはこれよりも最小上界に近い他の上界を得ている．

　　ｎ＝２　→　（４Ｄ／３）^1/2

　　ｎ＝３　→　（２Ｄ）^1/3

　　ｎ＝４　→　（４Ｄ）^1/4

　　ｎ＝５　→　（８Ｄ）^1/5

その後，ブリヒフェルトが

　　ｎ＝６　→　（３Ｄ／６４）^1/6

　　ｎ＝７　→　（６４Ｄ）^1/7

　　ｎ＝５　→　（２Ｄ）^1/8

を証明した．

［補］極大格子

ｎ　　　ルート　　　最小距離　　　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

［補］最密球充填

ｎ　　　ルート　　球充填密度

２　　　Ａ2　　　π／２√３＝０．９０６（ラグランジュ1773，ガウス1831）

３　　　Ａ3　　　π／３√２＝０．７４０（ガウス1831）

４　　　Ｄ4　　　π^2／１６＝０．６１７（Korkine,Zolotareff,1872）

５　　　Ｄ5　　　π^2／１５√２＝０．４６５（Korkine,Zolotareff,1877）

６　　　Ｅ6　　　π^3／４８√３＝０．３７３（Blichfeldt,1925）

７　　　Ｅ7　　　π^3／１０５＝０．２９５（Blichfeldt,1926）

８　　　Ｅ8　　　π^4／３８４＝０．２５４（Blichfeldt,1934）

［補］最疎球被覆

ｎ　　　ルート　　球被覆密度

２　　　Ａ2~　　　２π／√２７＝１．２０９（Kershner,1939）

３　　　Ａ3~　　　５√５π／２４＝１．４６４（Bambah,1954）

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【２】数の幾何学とミンコフスキーの格子点定理

　１９世紀のその後，当時１７才に過ぎなかったミンコフスキーもｎ元２次形式を考え，与えられた判別式をもつｎ元２次形式の最小値に対する上界Ｍが

　　Ｍ＜ＡnＤ^1/n　　　（Ａn＝４（Γ(n/2+1)）^2/n／π）

で与えられることを証明しました．この結果はエルミートのものより精密です．

［補］ｎ＝２のとき，（４／３）^1/2（エルミートの定理）は４／π（ミンコフスキーの定理）より強い境界であるが，ｎ＞４に対してはミンコフスキーの定理の方がよい．

　ガンマ関数の漸近表示を用いれば

　　Ｍ＜２ｎ√ｎπｅ^1/3n／πｅ・Ｄ^1/n〜０．２３４ｎ√ｎπｅ^1/3n・Ｄ^1/n

　このように，２次形式の理論が発展していく段階ではミンコフスキーが非常に大きな貢献をしています．彼は数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

　この定理は非常に単純であるにもかかわらず，他の方法では解決することのできなかった数論における多くの問題を解明したのですが，格子点定理を用いると，初等的な定理，たとえば，

　　「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」

　　「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」

　　「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」

なども証明することができます．格子点の幾何学はミンコフスキーの「数の幾何学」に端を発するのです．

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