自然数は素数が集まってできているから，数学において素数は重要である．物質は原子が集まってできているから，物理学において原子は重要である．

　　砂田利一「基本群とラプラシアン」紀伊国屋書店

によると，素数の理論と測地線の理論の間には不思議な類似が存在するという．数の世界と物質の世界は奥深いところで結びついているのである．

　もし，仮に加法の素因数分解を考えれば，たとえば，

　　１０＝３＋７＝５＋５＝２＋３＋５＝・・・

と幾通りもの素因数分解が考えられるところである．（ｐ（１０）＝４１通りの方法がある．）

　それに対して，乗法の素因数分解は順序の違いを除けば１通りしかないというのが「算術の基本定理」である．

　　１０＝２・５＝５・２

　物質の世界において，原子が分裂することは一大事であるが，数の世界において，素数が分裂することは一大事である．たとえば，

　　ａ＋ｉｂ√５　　（ａ，ｂは整数）

の形の数の世界を考えると，この世界では

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　　２１＝３・７＝（４＋ｉ√５）（４−ｉ√５）＝（１＋ｉ２√５）（１−ｉ２√５）

のように素因数分解の一意性が成り立たない．しかし，そこには大切な法則ながあるに違いない．

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【１】類数と素因数分解の一意性

　　ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

　　ｘ^2＋２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−２）（ｘ−ｙ√−２）

　　ｘ^2−２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√２）（ｘ−ｙ√２）

　　ｘ^2＋３ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−３）（ｘ−ｙ√−３）

ですから，それぞれ２次体

　　Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３）

と関係していることは容易に想像されます．

　Ｑ（√ｄ）の整数環をいかに定義すべきかが確定すると，次に，いかなるｄに対してＡ（ω）は一意分解環になるのかが問題となります．

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　素数ｐがｘ^2＋ｎｙ^2の形に表せるという問題は，虚２次体Ｑ（√−ｎ）のイデアル類群が深い関係にあることを示唆している．

　　４ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　８ｎ＋３型素数は，ｘ^2＋２ｙ^2の形に表すことができる．

　　３ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋３ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋１型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋２型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

　　７ｎ＋４型素数は，ｘ^2＋７ｙ^2の形に表すことができる．

はそれぞれ虚２次体Ｑ（√−１），Ｑ（√−２），Ｑ（√−３），Ｑ（√−７）の類数が１であることが本質的なのである．

　１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したが，それによると，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

の９個に限られる．

　なお，類数１の実２次体Ｑ（√ｄ）は無数に存在するであろうというガウス予想は現在でも未解決である．

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