正軸体系の（０，・・・０，１）の座標は，

　　（０，±１，±２，・・・，±ｎ−１）

の置換２^n-1・ｎ！個である．たとえば，ｎ＝４の場合，

　　（０，±１，±２，，±３）→１９２個

単純多面体で辺数はｎ／２・２^n-1・ｎ！，ファセット数は３^n−１−２^(n-1)ｎとなる．

　それに対して，置換多面体とは，正単体系の（１，・・・１，１）で，その座標は（ｎ＋１）！，単純多面体で辺数はｎ／２・（ｎ＋１）！，ファセット数は２（２^n−１）である．

　正軸体系の（０，・・・０，１）は置換多面体としばしば誤解されるが，平行多面体とも混同されているようだ．

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【１】置換多面体

　ａ1＞ａ2＞・・・＞ａnとするとき，（ａ1，ａ2，・・・，ａn）の添字を置換して得られるｎ！個の点からなる（ｎ−１）次元の多面体は置換多面体（順列多面体）と呼ばれる．とくにａ1＝ｎ，ａ2＝ｎ−１，・・・，ａn＝１の場合を指すこともある

　置換多面体は置換を１回適用することで同じものになる２頂点を辺で結んでできる．たとえば，ｎ＝４の場合の置換多面体で，頂点１３４２と結ばれるのは１４３２，１３２４，３１４２の３頂点である．

　この多面体は単純ゾノトープで，２^n−２個のファセットをもつ．したがって，ｎ次元置換多面体は（ｎ＋１）！個の頂点と２（２^n−１）個のファセットをもつことになる（２次元置換多面体は六角形，３次元置換多面体は切頂八、面体）．

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【２】平行多面体

　オイラーの多面体定理を使うと

［１］２次元泡細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての泡細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である

［２］３次元泡細胞の面数の平均は≦１４であり，すべての泡細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である

ことが証明される．

　２次元細胞の多くは６角形であり，３次元細胞の多くには１４面体であることはわかったが，４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？　どのような形になるのかを知る人は（たとえいたとしても）非常に少ないであろう．

　そこで，「ｎ次元の舗石定理」をまとめておきたい．

［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．

［２］ｎ＋１個のとき，平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個で，安定な空間充填となる（ミンコフスキー）．

ｎ　　　３^n−１−２^(n-1)ｎ　　　２（２^n−１）

２　　　　　　４　　　　　　　　　　　　６

３　　　　　１４　　　　　　　　　　　１４

４　　　　　４８　　　　　　　　　　　３０

５　　　　１５２　　　　　　　　　　　６２

６　　　　５３６　　　　　　　　　　１２６

であって，正軸体系の（０，・・・０，１）は２次元・３次元では空間充填図形であるが，４次元以上ではそうはならない．

　逆にいうと，２次元・３次元では空間充填図形であるから平行多面体としばしば間違われるのだと思う．

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