点Ｑの座標が等差数列をなす切頂切稜正軸体について考えてみよう．

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【１】３次元正軸体の切頂と切稜

［４］形状ベクトル［１，１，０］の場合→切頂のみ

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２，ｚ＝０

　→（±ｘ，±ｙ，０）の置換であるから２４通り

　→ｘ＝２／３，ｙ＝１／３，ｚ＝０

→（ｘ，ｙ，０）は同じ象限に２本（ｙ，ｘ，０），（ｘ，０，ｙ）

　他の象限に１本（ｘ，０，−ｙ）→（ｍ＝３）

→最小偏差Δ＝ｙは０→ｙ，ｙ→ｘの偏差である

は点Ｑの座標が等差数列をなす．

［７］形状ベクトル［１，１，１］の場合→切頂・切稜

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→（±ｘ，±ｙ，±ｚ）の置換であるから４８通り

　→ｚ＝１／（１＋３√２），ｙ＝（１＋√２）／（１＋３√２），ｘ＝（１＋２√２）／（１＋３√２）

→（ｘ，ｙ，ｚ）は同じ象限に１本（ｘ，ｚ，ｙ），（ｙ，ｘ，ｚ）

　他の象限に１本（ｘ，ｙ，−ｚ）→（ｍ＝３）

→最小偏差Δ＝ｚ√２はｚ→ｙ，ｙ→ｘの偏差である

は点Ｑの座標が等差数列をなさない．

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【２】４次元正軸体の切頂と切稜

［１１］形状ベクトル（１，１，１，０）の場合→切頂・切稜

　　ｗ＝０

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２

　→（±ｘ，±ｙ，±ｚ，０）の置換であるから１９２通り

　→ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０

→（ｘ，ｙ，ｚ，０）は同じ象限に３本（ｘ，ｙ，０，ｚ），（ｘ，ｚ，ｙ，０），（ｙ，ｘ，ｚ，０）

　他の象限に１本（ｘ，ｙ，０，−ｚ）→（ｍ＝４）

→最小偏差Δ＝ｚは０→ｚ，ｚ→ｙ，ｙ→ｘの偏差である

は点Ｑの座標が等差数列をなす．

［１５］形状ベクトル（１，１，１，１）の場合→切頂・切稜・切面

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→（±ｘ，±ｙ，±ｚ，±ｗ）の置換であるから３８４通り

　→ｗ＝１／（４＋６√２），ｚ＝（１＋√２）／（４＋６√２），ｙ＝（１＋２√２）／（４＋６√２），ｘ＝（１＋３√２）／（４＋６√２）

→（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）は同じ象限に３本（ｘ，ｙ，ｗ，ｚ），（ｘ，ｚ，ｙ，ｗ），（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ）

　他の象限に１本（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）→（ｍ＝４）

→最小偏差Δ＝ｗ√２はｗ→ｚ，ｚ→ｙ，ｙ→ｘの偏差である

は点Ｑの座標が等差数列をなさない．

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【３】５次元正軸体の切頂と切稜

［２６］形状ベクトル（１，１，１，１，０）の場合

　　ｖ＝０

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝（ｗ−ｖ）／√２

　→（±ｘ，±ｙ，±ｚ，±ｗ，０）の置換

　→ｗ＝１／１０，ｚ＝２／１０，ｙ＝３／１０，ｚ＝４／１０

→（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ，０）は同じ象限に４本（ｘ，ｙ，ｚ，０，ｗ），（ｘ，ｘ，ｗ，ｚ，０），（ｘ，ｚ，ｙ，ｗ，０），（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ，０）

　他の象限に１本（ｘ，ｙ，ｚ，０，−ｗ）→（ｍ＝５）

→最小偏差Δ＝ｗは０→ｗ，ｗ→ｚ，ｚ→ｙ，ｙ→ｘの偏差である

は点Ｑの座標が等差数列をなす．

［３１］形状ベクトル（１，１，１，１，１）の場合

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝（ｗ−ｖ）／√２＝ｖ

　→（±ｘ，±ｘ，±ｚ，±ｗ，±ｖ）の置換

　→ｖ＝１／（５＋１０√２），ｗ＝（１＋√２）／（５＋１０√２），ｚ＝（１＋２√２）／（５＋１０√２），ｙ＝（１＋３√２）／（５＋１０√２），ｙ＝（１＋４√２）／（５＋１０√２）

→（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ，ｖ）は同じ象限に４本（ｘ，ｙ，ｚ，ｖ，ｗ），（ｘ，ｙ，ｗ，ｚ，ｖ），（ｘ，ｚ，ｙ，ｗ，ｖ），（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ，ｖ）

　他の象限に１本（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ，−ｖ）→（ｍ＝５）

→最小偏差Δ＝ｖ√２はｖ→ｗ，ｗ→ｚ，ｚ→ｘの偏差である

は点Ｑの座標が等差数列をなさない．

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【４】まとめ

　正軸体系の（０，・・・０，１）の座標は，

　　（０，±１，±２，・・・，±ｎ−１）

の置換２^n-1・ｎ！個である．たとえば，ｎ＝４の場合，

　　（０，±１，±２，，±３）→１９２個

単純多面体で辺数はｎ／２・２^n-1・ｎ！，ファセット数は３^n−１−２^(n-1)ｎとなる．

　それに対して，置換多面体とは，正単体系の（１，・・・１，１）で，その座標は（ｎ＋１）！，単純多面体で辺数はｎ／２・（ｎ＋１）！，ファセット数は２（２^n−１）である．

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