３次元の正四面体系と正八面体系，４次元の正１６胞体系と正２４胞体系の準正多胞体に重複が存在するが，ｎ（≧５）次元の正単体系と正軸体系の準正多胞体に重複はないと思われる．正単体の頂点数ｎ＋１とファセット数ｎ＋１の合計２（ｎ＋１）が正軸体の頂点数２ｎやファセット数２^nと一致しないからである．

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【１】本質は何か？（理由が知りたい）

　３次元と４次元は重複が存在する特殊な次元であるが，正多胞体の元素定理の面から見ても，３次元と４次元は正多面体の元素数が減少する特殊な次元といえる．

　そこには深い幾何学的な事情があり，ｎ（≧５）次元正多胞体の元素数は≧３であると考えられる．その理由を述べてみたい．

　ｎ次元の直角三角錐２^n個で正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は１辺の長さ２の正２ｎ胞体（体積：２^n）と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除くことができる．

［１］元素数の減少が起こる理由

　３次元では立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるため，元素数がひとつ減る．さらに，４次元の特殊性として１９２個のＲＰから正２４胞体が構成されるため，もうひとつ元素数は減るのである．

［２］元素数の減少が起こらない理由

　５次元以上の空間では直角三角錘２^n-1個を取り除くと正多面体にならず，１種の準正多面体になる．また，２次元では正方形から直角三角形を２個取り除くと何も残らない．これが各次元における元素定理の正体なのである．

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【２】重複の正体

　３次元と４次元で重複が存在する理由は，正四面体（正１６胞体）の辺の中点を結ぶと正八面体（正２４胞体）ができるからである．

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