【１】Ｃn型ルート格子？

　　｜Ｃ2 ｜＝｜１　１｜＝１

　　　　　　　｜０　１｜

　　　　　　　｜１　１　１｜

　　｜Ｃ3 ｜＝｜０　１　１｜＝１

　　　　　　　｜０　０　１｜

は容易に計算できる．一般に，三角行列の行列式の値は対角要素の積になるから，

　　｜Ｃn ｜＝１

が得られる．

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　次に，

　　｜１　１　・・　１｜　｜１　−１　・・・　０｜

　　｜０　１　・・　１｜　｜０　１　−１・・　０｜

　　｜０　０　・・・１｜＝｜０　０　１・・・　０｜＝１

　　｜０　０　・・　１｜　｜０　０　・・１　−１｜

　　｜０　０　・・ １｜　｜０　０　・・０　　１｜

を示してみよう．

　３次の行列式であれば，行列式を展開して

　　｜１　１　１｜　　　｜１　−１　　０｜

　　｜０　１　１｜＝１，｜０　　１　−１｜＝１

　　｜０　０　１｜　　　｜０　　０　　１｜

であることを確認することができる．しかし，直接

　　｜１　１　１｜

　　｜０　１　１｜

　　｜０　０　１｜

を

　　｜１　−１　　０｜

　　｜０　　１　−１｜

　　｜０　　０　　１｜

に変形することは難しいだろう．

　　｜１　１　・・　１｜ ｜１　０　・・　０｜

　　｜０　１　・・　１｜ ｜０　１　・・　０｜

　　｜０　０　・・・１｜＝｜０　０　・・・０｜＝１

　　｜０　０　・・　１｜ ｜０　０　・・　０｜

　　｜０　０　・・ １｜ ｜０　０　・・ １｜

は証明できるし，

　　｜１　−１　・・・　０｜ ｜１　０　・・　０｜

　　｜０　１　−１・・　０｜ ｜０　１　・・　０｜

　　｜０　０　１・・・　０｜＝｜０　０　・・・０｜＝１

　　｜０　０　・・１　−１｜ ｜０　０　・・　０｜

　　｜０　０　・・０　　１｜ ｜０　０　・・ １｜

を示すことによって，両辺が一致することを確認してみよう．それでも立派な証明だろう．

　たとえば，

　　｜１　−１　　０　　０｜ ｜１　０　０　０｜

　　｜０　　１　−１　　０｜＝｜０　１　０　０｜＝１≠０

　　｜０　　０　　１　−１｜ ｜０　０　１　０｜

　　｜０　　０　　０　　１｜ ｜０　０　０　１｜

まず，第４行を第３行に加えて，さらに第３行を第２行に，第２行を第１行に加えれば，対角行列式となる．対角行列の行列式の値は対角要素の積になるから，非特異となることが証明されたことになる．

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【２】まとめ

　「ワイソフ構成を決めると，ｎ次元準正多胞体がひとつ定まる．したがって，ワイソフ構成を決めることは，ｎ次元準正多胞体を定めることと等価である．」

　このことは，幾何学的に説明すると，単体の各面は共面（平行）にならないことと同様である．自明といってもよい．各面は必ず交差するからである．

　正確に表現すると，点Ｑの座標を求めるにはｎ元１次方程式を解くことになるのだが，これが非特異であることが示せればよい．

　たとえば，４次元正軸体系では

　　｜１　−１　　０　　０｜ ｜１　０　０　０｜

　　｜０　　１　−１　　０｜＝｜０　１　０　０｜＝１≠０

　　｜０　　０　　１　−１｜ ｜０　０　１　０｜

　　｜０　　０　　０　　１｜ ｜０　０　０　１｜

まず，第４行を第３行に加えて，さらに第３行を第２行に，第２行を第１行に加えれば，対角行列式となる．対角行列の行列式の値は対角要素の積になるから，非特異となることが証明されたことになる．

　４次元正単体系では，直交座標を斜交座標化することによって，

　　｜ａ1 −ａ2 　０ 　　０｜ ｜ａ1 ０　０ 　０｜

　　｜０　　ａ2 −ａ3　　０｜＝｜０　ａ2 ０ 　０｜＝ａ1ａ2ａ3ａ4≠０

　　｜０　　０　　ａ3 −ａ4｜ ｜０　０　ａ3 ０｜

　　｜０　　０　　０　　ａ4｜ ｜０　０　０　ａ4｜

　すなわち，人間の年齢なら負の値はとらないとか（一般常識），水の温度は0℃以上100℃以下とか（物理学的性質）と同様の常識で説明できる．

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