石井源久先生の学位論文

　　「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに関する研究」

では，形状ベクトルｖ（ワイソフ構成と同じ０−１ベクトル）と変換行列Ｔを掛け合わせて，すべての頂点の座標を計算している．

　したがって，変換行列Ｔは正軸体系では２^n・ｎ！種類，正単体系では（ｎ＋１）！種類あるはずである．しかし，当該論文には変換行列Ｔについての説明が書かれていない．具体的にはどういうものであろうか？

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【１】３次元正軸体系の場合

　　ｖ＝（１，１，０），変換行列Ｔとして上三角行列を用いるが，例として，

　　　　［１，１，１］

　　Ｔ＝［０，１，１］

　　　　［０，０，１］

を用いた場合，

　　Ｔｖ＝［２，１，０］

が得られる．

［４］形状ベクトル［１，１，０］の場合

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２，ｚ＝０

　→（±ｘ，±ｙ，０）の置換であるから２４通り

　→ｘ＝２／３，ｙ＝１／３，ｚ＝０

となって，

　　［２／３，１／３，０］

と（スケールを除いて）一致する．

　もし，対角行列Ｔ’として，

　　　　　［√２，０，０］

　　Ｔ’＝［０，√２，０］

　　　　　［０，　０，１］

を用いると，ＴＴ’ｖを計算すると

　　ＴＴ’ｖ＝［２√２，√２，０］

となる．２次元でならばＴ’はスケーリングのための行列であるが，３次元ではどんな役目をする行列なのだろうか？

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　切頂八面体の場合はよかったが，他のケースも調べてみよう．

［１］形状ベクトル［１，０，０］の場合

　　（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ＝０，ｙ＝ｚ＝０

　→（±ｘ，０，０）の置換であるから６通り

　→ｘ＝１，ｙ＝ｚ＝０

　　Ｔｖ＝［１，０，０］

　　Ｔ’ｖ＝［√２，０，０］

　　ＴＴ’ｖ＝［√２，０，０］

［２］形状ベクトル［０，１，０］の場合→切頂のみ

　　（ｘ−ｙ）／√２＝０，ｚ＝０，ｘ＝ｙ

　→（±ｘ，±ｘ，０）の置換であるから１２通り

　→ｘ＝ｙ＝１／２，ｚ＝０

　　Ｔｖ＝［１，１，０］

　　Ｔ’ｖ＝［√２，√２，０］

　　ＴＴ’ｖ＝［２√２，√２，０］

［３］形状ベクトル［０，０，１］の場合→切頂のみ

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝０

　→　ｘ＝ｙ＝ｚ　→（±ｘ，±ｘ，±ｘ）の置換であるから８通り

　→ｘ＝ｙ＝ｚ＝１／３

　　Ｔｖ＝［１，１，１］

　　Ｔ’ｖ＝［√２，√２，１］

　　ＴＴ’ｖ＝［１＋２√２，１＋√２，１］

［５］形状ベクトル［１，０，１］の場合

　　（ｙ−ｚ）／√２＝０，ｙ＝ｚ

　　（ｘ−ｙ）／√２＝ｚ

　→（±ｘ，±ｙ，±ｙ）の置換であるから２４通り

　→ｙ＝ｚ＝１／（３＋√２），ｘ＝（１＋√２）／（３＋√２）

　　Ｔｖ＝［２，１，１］

　　Ｔ’ｖ＝［２√２，√２，１］

　　ＴＴ’ｖ＝［１＋３√２，１＋√２，１］

［６］形状ベクトル［０，１，１］の場合→切頂のみ

　　（ｘ−ｙ）／√２＝０，（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→（±ｘ，±ｘ，±ｚ）の置換であるから２４通り

　→ｚ＝１／（３＋２√２），ｘ＝ｙ＝（１＋√２）／（３＋２√２）

　　Ｔｖ＝［２，２，１］

　　Ｔ’ｖ＝［２√２，２√２，１］

　　ＴＴ’ｖ＝［１＋４√２，１＋２√２，１］

［７］形状ベクトル［１，１，１］の場合→切頂・切稜

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→（±ｘ，±ｙ，±ｚ）の置換であるから４８通り

　→ｚ＝１／（１＋３√２），ｙ＝（１＋√２）／（１＋３√２），ｘ＝（１＋２√２）／（１＋３√２）

　　Ｔｖ＝［３，２，１］

　　Ｔ’ｖ＝［３√２，２√２，１］

　　ＴＴ’ｖ＝［１＋５√２，１＋２√２，１］

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【２】まとめ

　２次元でならばＴ’はスケーリングのための行列であるが，３次元ではｖの末尾が０のとき，すなわち，

　　ｖ＝（＊，・・・，＊，０）

では単純な伸縮になっていない．どんな役目をする行列なのだろうか？

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