■射影平面の作り方
【１】２次元多様体の分類定理（その１）
ゴム膜でできた長方形の４辺（または２辺）を適当に貼り合わせることを考えてみましょう．そして，長方形を時計回りに順に一周するようなラベルをつけることにします．
すると，１組の対辺だけを向きを保ったまま貼り合わせる操作はａ０ａ^(-1)０と書くことができます．ａ０ａ^(-1)０によって円環ができあがります．ａ０ａ０すなわち１組の対辺を向きを逆にして貼り合わせる操作によって，メビウスの帯ができあがります．円環の境界は２本の円周ですが，メビウスの帯の境界は１本の円周です．
同様に，ａｂｂ^(-1)ａ^(-1)からは球面，ａｂａ^(-1)ｂ^(-1)からは輪環面（トーラス），ａｂａｂ^(-1)からはクラインの壷，ａｂａｂからは射影平面が得られます．
クラインの壷と射影平面は３次元ユークリッド空間の中では描けませんが，４次元空間考えると自己交差なしに重ね合わせることができます．また，イメージするのは難しいのですが，射影平面はメビウスの帯と円板とを縁に沿って貼り合わせたものと同相です．
円環，球面，輪環面は表から裏に行くことはありませんが，メビウスの帯，クラインの壷，射影平面では縁を越えることなしに曲面の裏側にたどりつきます．こういう面を向きづけ不可能な曲面といいます．
これら６種類はすべて２次元多様体の例です．そして，コンパクトな２次元多様体はどんなものでも，円環，メビウスの帯，球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐの６つのものを適当に連結和したものと同相になることが知られています．
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【２】２次元多様体の分類定理（その２）
基本的な曲面（球面Ｓ，輪環面Ｔ，クラインの壷Ｋ，射影平面Ｐ）の組み合わせを標準形曲面と呼びます．ここでは標準形曲面Ｓ，ｎＴ（ｎ≧１），ｍＰ（ｍ≧１）を取り扱うことにします．ＳとｎＴは向き付け可能，ｍＰは向き付け不可能ですから，Ｓだけが孤立していますが，Ｓを０Ｔと約束するとｎＴ（ｎ≧０）は向き付け可能な標準形曲面となり，好都合です．
また，クラインの壷Ｋは２つの射影平面の連結和２Ｐ＝Ｐ＃Ｐと同相です．Ｔ＃ＰはＫ＃Ｐと同相であり，したがって３Ｐとも同相になります．すなわち，クラインの壷Ｋは射影平面Ｐをつけることによってみかけ上そのねじれが解消され，トーラスＴに射影平面Ｐがくっついた形になってしまうことは驚くべきことと考えられます．
したがって，ｎＴ，ｍＰを扱えばよいことになるのですが，以下にコンパクトな曲面の分類定理をまとめておきます．
［１］向き付け可能なコンパクトな曲面はｍＴ（ｍ≧０）と同相である．ただし，０Ｔは球面Ｓを意味するものとする．
すなわち，なめらかに埋め込まれた閉曲面は球面Ｓか，ｍ人乗りの浮き輪ｍＴのいずれかに同相になります．このｍは種数，このような曲面は種数ｍの閉曲面と呼ばれます．
これで閉曲面の位相的分類定理の半分です．残り半分は次のように表せます．
［２］向き付け不可能なコンパクトな曲面はｍＰ（ｍ≧１）と同相である．
なめらかに埋め込まれた閉曲面以外にも重要な閉曲面があります．クラインの壷Ｋが向き付け不可能な閉曲面の例です．クラインの壷は２重線のみをもつ閉曲面の例ですが，３重線をもつ閉曲面の例としてボーイの曲面があります．ボーイの曲面は射影平面Ｐと同相，クラインの壷Ｋは２Ｐと同相ですから，射影平面Ｐの方がより基本的なのです．
向き付け不可能のときは，ｍ個のボーイの曲面を繋げたものに同相になるというのが，閉曲面の位相的分類定理の残り半分です．残り半分は次のように表
Ｔのいずれかに同相になります．向き付け不可能の場合もｍは種数，このような曲面は種数ｍの向き付け不可能閉曲面と呼ばれます．
［３］これ以外の向き付け不可能なコンパクトな曲面は，Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴ（ｍ≧０）のような向き付け不可能な曲面と同相である．Ｐ＃ｍＴ，Ｋ＃ｍＴを第２標準形曲面と呼ぶ．
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【３】オイラー標数
三角形分解定理（ラドー，１９２０年代）により，すべてのコンパクトな曲面は平面モデルで表現することができるのですが，閉曲面の位相的分類定理の証明には三角形分解による多角形表示のアイディアを用います．
たとえば，２Ｔをａ，ｂ，ｃ，ｄというラベルの付いた曲線に沿って切り開くと８角形の平面モデルが得られます．２つ穴トーラス面を真ん中で２つに分けると，トーラス面に穴のあいたものａｂａ^(-1)ｂ^(-1)ｘとｘｃｄｃ^(-1)ｄ^(-1)ができます．これらを切り開くとどちらも５角形となります．これをｘで２つつなぎ合わせると辺ｘは内部に吸収され，８角形になるというわけです．そして，任意の多角形表示がすべてｍ個のトーラスを繋げたものか，ｍ個の射影平面（ボーイの曲面）を繋げたもののいずれかになることを示すことになります．
ここではコンパクトな曲面の不変量として，オイラー標数を取り上げます．
χ（Ｓ）＝２，χ（Ｔ）＝０，χ（Ｋ）＝０，χ（Ｐ）＝１
χ（ｍＴ）＝２−２ｍ，χ（ｍＰ）＝２−ｍ
χ（Ｋ＃ｍＴ）＝−２ｍ，χ（Ｐ＃ｍＴ）＝１−２ｍ
すなわち，閉曲面に対してオイラー標数が１つに定まるということです．
２つのコンパクトな曲面が同相となるための必要十分条件は
［１］同じオイラー標数をもつ
かつ
［２］ともに向き付け可能かまたはともに向き付け不可能である
ことです．このことから５Ｔと７Ｔは決して同相にはならないし，６７Ｐと４５Ｐも決して同相にはならないことが示されます．
Ｋは２Ｐと同相なので，向き付け不可能なコンパクトな曲面はｍ（≧０）個の穴をもつトーラスに１個あるいは２個の交差帽をつけたものと見ることができます．ハンドルを取り付けるには開円板を２個，交差帽を取り付けるには取り除く必要がありますから，種数ｍは途中に現れる穴の個数，最後にできあがる曲面のオイラー標数は２から取り除いた開円板の個数を引いた数に等しいことがわかります．
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【４】雑感
閉曲面の位相的分類が成功したのは，曲面を三角形に分割して単純な記号の羅列に変換できたからです．３次元以上の多様体に関してはこのような分類定理は存在しません．３次元多様体の位相的分類は数百倍難しくなりますが，考え方としては概ね同じ方向でできると思われます．
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