連続する３個の自然数の積は３！＝６の倍数である

　連続する４個の自然数の積は４！＝２４の倍数である

　連続するｋ個の自然数の積はｋ！の倍数である

に対して，エルデシュ・セルフリッジの定理とは

　連続する３個の自然数の積は平方数とはならない

　連続する４個の自然数の積は平方数，立方数とはならない

　連続するｋ（＞１）個の自然数の積はある数のベキ乗数とはならない

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［Ｑ］連続する３個の自然数の積（ａ−１）ａ（ａ＋１）は平方数とはならないことを示せ．

［Ａ］ａ≧２．（ａ−１）とａ，ａと（ａ＋１）は互いに素であるから，（ａ−１）ａ（ａ＋１）は平方数ならばａ自身が平方数でなければならない．すると（ａ−１）（ａ＋１）＝ａ^2−１も平方数であるから，ａ^2−１＝ｂ^2と書ける．

　このとき，ａ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）＝１より（ａ，ｂ）＝（±１，０）となり，ａ≧２であることに反する．

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