微積の学び初めに，ｘ→０としたとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ→１

に出会う．この結果は

　　（ｓｉｎｘ）’＝ｃｏｓｘ，（ｃｏｓｘ）’＝−ｓｉｎｘ

を示すのに用いられる．

　その後，ｓｉｎｘのテイラー展開によって，無限級数

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・

が示される．

　それでは，任意のｘに対して，無限積公式

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・

も示しておこう．

（証明）

　　ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ／２ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝８ｓｉｎｘ／８ｃｏｓｘ／８ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　　・・・・・

　　　　　　＝２^nｓｉｎｘ／２^nｃｏｓｘ／２^n・・・ｃｏｓｘ／２

　書き直すと

　　ｓｉｎｘ＝ｘ［ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）］ｃｏｓｘ／２・・・ｃｏｓｘ／２^n

　ここで，ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）→１

であるから，ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　　　　　　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

が得られる．この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ここでは，ｃｏｓｘの無限積表示

　　ｃｏｓｘ＝（１−４ｘ^2／π^2）（１−４ｘ^2／９π^2）（１−４ｘ^2／２５π^2）・・・

を用いているが，ｔａｎｘに対しては，部分分数の無限級数表示

　　ｔａｎｘ＝８ｘ［１／（π^2−４ｘ^2）＋１／（９π^2−４ｘ^2）＋１／（２５π^2−４ｘ^2）＋・・・］

が成り立つ．

　ｘ＝π／４とすると，

　　１＝４／π（１−１／３＋１／５−１／７＋・・・）

であるから，グレゴリー・ライプニッツ級数

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋・・・

が導かれる．

　グレゴリー・ライプニッツ級数はπを含んでいる無限級数として最初のものなのだが，オリジナルは

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−ｘ^7／７＋・・・

から発見されたものである．

　また，ｘ→０としたときのｔａｎｘ／ｘの漸近挙動から，

　　π^2／８＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・

さらに，

　　Ｓ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・

　　　＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・＋１／２^2＋１／４^2＋１／６^2

　　　＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・＋１／４［１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・］

　　　＝π^2／８＋Ｓ／４

　したがって，

　　Ｓ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＝π^2／６

となるが，これはオイラーにより発見された有名な級数である．

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