［参］大野泰生・松井優「白熱！無差別級数学バトル」日本評論社

に掲載されている問題ですが，分割数のｍ角数等式に雰囲気の似た問題を見つけたので紹介したいと思います．

　Σ１／ｎ！＝１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！＋・・・＝ｅ

ですが，

［Ｑ］　Σ１／（２ｎ）！＝１＋１／２！＋１／４！＋・・・＝？

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［Ａ］　（ｅ＋１／ｅ）／２＝（Σ１／ｎ！＋Σ（−１）^n／ｎ！）／２＝Σ１／（２ｎ）！

　類似の問題

［Ｑ］　Σ１／（３ｎ）！＝？

［Ａ］　ｅ＝Σ１／（３ｎ）！＋Σ１／（３ｎ＋１）！＋Σ１／（３ｎ＋２）！

　ここで，１の原始３乗根

　　ω＝ｃｏｓ（２π／３）＋ｉｓｉｎ（２π／３）

　　ω^2＋ω＋１＝０，ω^3n＝１，ω^3n+1＝ω，ω^3n+2＝ω^2

を用いると

　　ｅ＝Σ１／（３ｎ）！＋Σ１／（３ｎ＋１）！＋Σ１／（３ｎ＋２）！

　　ｅ^ω＝Σ１／（３ｎ）！＋Σω／（３ｎ＋１）！＋Σω^2／（３ｎ＋２）！

　　ｅ^ω^2＝Σ１／（３ｎ）！＋Σω^2／（３ｎ＋１）！＋Σω／（３ｎ＋２）！

　辺々加えると

　　ｅ＋ｅ^ω＋ｅ^ω^2＝３Σ１／（３ｎ）！

ここで，

　　ｅ＋ｅ^ω＋ｅ^ω^2＝ｅ＋２／√ｅｃｏｓ（√３／２）

より，

　　Σ１／（３ｎ）！＝（ｅ＋２／√ｅｃｏｓ（√３／２））／３

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　　Σ１／（５ｎ）！，Σ１／（ａｎ）！などの一般化することは難しくない．

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