コラム「正四面体に手錠をはめる」で扱った問題では，正四面体を１辺の長さの９０％の直径をもつ円形の穴を通すことができるなどは，やってみれば理解できるが，意外な事実ではないだろうか．

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【１】正多面体とペトリー多角形

　紀元前３世紀の頃（ユークリッドの時代），既に５種類の正多面体は知られていたといわれています．これら５個はすべて頂点がひとつの球面上にあり，Ｄを球面の直径，ａを内接する正多面体の辺の長さとすると，

　　立方体　→　Ｄ^2＝３ａ^2

　　正四面体　→　Ｄ^2＝３ａ^2／２

　　正八面体　→　Ｄ^2＝２ａ^2

　　正十二面体　→　Ｄ^2＝（５＋√５）ａ^2／２

　　正二十面体　→　Ｄ^2＝３（３＋√５）ａ^2／２

　また，Ｖを体積，ａを正多面体の辺の長さとすると，

　　立方体　→　Ｖ＝ａ^3

　　正四面体　→　Ｖ＝√２ａ^3／１２

　　正八面体　→　Ｖ＝√２ａ^3／３

　　正十二面体　→　Ｖ＝（１５＋７√５）ａ^3／４

　　正二十面体　→　Ｖ＝５（３＋√５）ａ^3／１２

このことから，半径ｒの球の体積と等しい正四面体の１辺の長さは２ｒ√πとなります．

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　正多面体の点心図，辺心図，面心図をみると，その中に正射影として輪郭が正多角形に見える方向があります．たとえば，正四面体の４つの頂点は同一平面上にありませんが，辺心図をみると輪郭は正方形に見えます．

　　立方体　→　点心図が正六角形に見える

　　正四面体　→　辺心図が正方形に見える

　　正八面体　→　面心図が正六角形に見える

　　正十二面体　→　面心図が正十角形に見える

　　正二十面体　→　点心図が正十角形に見える

　これらの正射影では，もとの正多角形の中点をうまく結んだ正多角形ができます．この正多角形をペトリー多角形，この面をペトリー面（赤道面）といいます．

　ペトリー面はもとの正多面体の対称面ではなく１種の回映面であって，対称面とは必ず交わります．

　１辺１の正八面体に対して，可能な下限は中央の切り口（ペトリー面）−１辺が１／２の正六角形（ペトリー多角形）の対角線（長さ１）を直径とする円である．

［２］立方体のペトリー面

　１辺１の立方体に対して，可能な下限は中央の切り口（ペトリー面）−１辺が１／√２の正六角形（ペトリー多角形）の対角線（長さ√２）を直径とする円である．

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【２】正四面体の通り抜ける円形の穴の下限

　正四面体の２組の相対する辺はねじれの位置にありますが，その中点を結ぶ直線はこれらの辺に直交します．稜の長さが√２の正四面体の対辺の中点を結ぶ直線の長さは１となります．

　１辺１の正四面体に対して，可能な下限は中央の切り口（ペトリー面）−１辺が１／２の正方形（ペトリー多角形）の対角線（長さ１／√２）を直径とする円であることはすぐにわかりますが，これは正四面体の１辺の長さの７０％であって，９０％ではありません．

　９０％といったのはおおざっぱな値で，正確な境界は８９，６％余りで，これはある有理関数の極値をコンピュータを援用して計算した値とのことです．　　１／√２≦ｄ≦０．８９６・・・

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【３】正多面体に手錠をはめる円形の穴の境界

　正多面体の通り抜ける円形の穴の下限を「ペトリー面」を使って求めた．ここでは上限を求めることになるが，正弦定理より

　　ａ／ｓｉｎＡ＝２Ｒ

［１］立方体の場合

　　ａ＝（２＋ｘ^2）^1/2

　　ｓｉｎＡ＝｛（ｘ^2＋２ｘ＋３）／２（２＋ｘ^2）｝^1/2

　　２Ｒ＝｛２（ｘ^2＋２）^2／（ｘ^2＋２ｘ＋３）｝^1/2

　　４Ｒ^2＝２（ｘ^2＋２）^2／（ｘ^2＋２ｘ＋３）｝

　（４Ｒ^2）’＝０より

　　ｘ^3＋３ｘ^2＋４ｘ−２＝０，ｘ＝０．３７９，ｄ＝２Ｒ＝１．５３５

　また，１辺１の立方体に対して，可能な下限は中央の切り口（ペトリー面）−１辺が１／√２の正六角形（ペトリー多角形）の対角線（長さ√２）を直径とする円である．これより，

　　√２≦ｄ≦１．５３４７７・・・

［２］正八面体の場合

　　ａ＝（２＋ｘ^2）^1/2

　　ｓｉｎＡ＝｛（ｘ^2＋２ｘ＋３）／２（２＋ｘ^2）｝^1/2

　　２Ｒ＝２（ｘ^2＋１）／（３ｘ^2＋２ｘ＋３）｝^1/2

　　４Ｒ^2＝４（ｘ^2＋１）^2／（３ｘ^2＋２ｘ＋３）

　（４Ｒ^2）’＝０より

　　３ｘ^3＋３ｘ^2＋３ｘ−１＝０，ｘ＝０．２５３，ｄ＝２Ｒ＝１．１０６６

　また，１辺１の正八面体に対して，可能な下限は中央の切り口（ペトリー面）−１辺が１／２の正六角形（ペトリー多角形）の対角線（長さ１）を直径とする円である．これより，

　　１≦ｄ≦１．１０６６・・・

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