【１】パスカルの三角形の恒等式（その１）

　　１　　　１

　　１　　　２　　　１

　　１　　　３　　　３　　　１

　　１　　　４　　　６　　　４　　　１

　　１　　　５　　１０　　１０　　　５　　　１

　　１　　　６　　１５　　２０　　１５　　　６　　　１

　パスカルの三角形に斜線を引いて，斜線上に並ぶ数の交代和をとれば

　　Ｓ1＝１−１＝０

　　Ｓ2＝１−３＋１＝−１

　　Ｓ3＝１−５＋６−１＝１

　　Ｓ4＝１−７＋１５−１０＋１＝０

　　Ｓ5＝１−９＋２８−３５＋１５−１＝−１

　　Ｓ6＝１−１１＋４５−８４＋７０−２１＋１＝１

で，０，−１，１が周期３で順番に現れる．

　パスカルの三角形では，

　　（ｎ，０）−（ｎ，１）＋・・・＋（−１）^n（ｎ，ｎ）＝０

のような有名な交代和恒等式が知られているが，

　　Ｓn＝（２ｎ，０）−（２ｎ−１，１）＋・・・＋（−１）^n（２ｎ−ｎ，ｎ）

＝０　　　（ｎ＝３ｋ＋１のとき）

＝−１　　（ｎ＝３ｋ＋２のとき）

＝１　　　（ｎ＝３ｋのとき）

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【２】パスカルの三角形の恒等式（その２）

　　Ｕn＝Σ（ｎ，３ｒ）　　ｒ＝０〜［ｎ／ｒ］

を計算してみる．

　　Ｕ1＝（１，０）＝１

　　Ｕ2＝（２，０）＝１

　　Ｕ3＝（３，０）＋（３，３）＝２

　　Ｕ4＝（４，０）＋（４，３）＝５

　　Ｕ5＝（５，０）＋（５，３）＝１１

　　Ｕ6＝（６，０）＋（６，３）＋（６，６）＝２２

　周期性は見えてこないが，１の原始３乗根

　　ω＝ｃｏｓ（２π／３）＋ｉｓｉｎ（２π／３）

　　（１＋１）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋・・・

　　（１＋ω）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）ω＋（ｎ，２）ω^2＋・・・

　　（１＋ω^2）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）ω^2＋（ｎ，２）ω^4＋・・・

を加えて（ｎ，ｒ）の係数を調べると

＝０　　　（ｒ＝３ｋ＋１のとき）

＝０　　　（ｒ＝３ｋ＋２のとき）

＝３　　　（ｒ＝３ｋのとき）

より，

右辺の和＝３（（ｎ，０）＋（ｎ，３）＋（ｎ，６）＋・・・）＝３Ｕn

左辺の和＝（１＋１）^n＋（１＋ω）^n＋（１＋ω^2）^n＝２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３）

　したがって，

　　Ｕn＝（２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３））／３

が得られる．

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【３】２（２^n−１）胞体の元素の頂点数

　正単体の基本単体をｎ−１回切頂・切稜すると２ｎ胞体になる．この多面体のすべての頂点を求めてみたところ，頂点数は２^n個あり，この多面体は超立方体と組み合わせ同値であることが確認された．

　胞数２ｎ，頂点数２^nの多胞体を対称超平面で切半すると，切断面はｎ−１次超立方体（頂点数２^n-1）と組み合わせ同値になることが予想されるが，実際に計算してみると

ｎ　　　切断面　　　　　上　　　　下　　　　　計

３　　　　　４　　　　　２　　　　２　　　　　８

４　　　　　６　　　　　５　　　　５　　　　１６

５　　　　１２　　　　１０　　　１０　　　　３２

６　　　　２２　　　　２１　　　２１　　　　６４

７　　　　４４　　　　４２　　　４２　　　１２８

８　　　　８６　　　　８５　　　８５　　　２５６

９　　　１７２　　　１７０　　１７０　　　５１２

１０　　３４２　　　３４１　　３４１　　１０２４

となって，頂点数２^nが概３等分されていることがわかった．

　２^nは３では割り切れないが，

　　２^n＝１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝２　　（ｍｏｄ３）

であるから，概３等分されるのである．

ｎ　　　頂点数（Ｖn）

３　　　　４＋２＝６

４　　　　６＋５＝１１

５　　　　１２＋１０＝２２

６　　　　２２＋２１＝４３

７　　　　４４＋４２＝８６

８　　　　８６＋８５＝１７１

９　　　１７２＋１７０＝３４２

１０　　３４２＋３４１＝６８３

　奇数次元→偶数次元：２倍して１引く

　偶数次元→奇数次元：２倍する

　　Ｖn-1≒２（２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３））／３

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