パスカルの三角形にはいろんなことがいっぱい詰まっている．

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【１】パスカルの三角形の恒等式

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｓｕｍ　　ｍｏｄ３

　　　　　　　　１　　　１　　　　　　　　　　２　　　　２

　　　　　　１　　　２　　　１　　　　　　　　４　　　　１

　　　　１　　　３　　　３　　　１　　　　　　８　　　　２

　　１　　　４　　　６　　　４　　　１　　　１６　　　　１

　パスカルの三角形では，以下の有名な恒等式が知られている．

　　（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）＋（ｎ，ｎ）＝２^n

　　（ｎ，０）−（ｎ，１）＋・・・＋（−１）^n（ｎ，ｎ）＝０

　　（ｎ，０）^2＋（ｎ，１）^2＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）^2＋（ｎ，ｎ）^2＝（２ｎ，ｎ）

　　（ｎ，０）＋２（ｎ，１）＋・・・＋２^n-1（ｎ，ｎ−１）＋２^n（ｎ，ｎ）＝３^n-1

　　（ｎ，０）＋２（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ−１）（ｎ，ｎ−１）＋ｎ（ｎ，ｎ）＝ｎ・２^n-1

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【２】フィボナッチ数とパスカルの三角形

　パスカルの三角形では先頭と最後が常に１となり，その間の数値は前の行の連続した数値を加えていくことに得られる．一方，フィボナッチ数は前２項の和と等しい．どちらも再帰的（同じ規則を反復的に実行する）というわけである．

　パスカルの三角形になだらかな斜線を引いて，斜線上に並ぶ数の和をとればフィボナッチ数が順番に現れる．

　　１＋１＝２，１＋２＝３，１＋３＋１＝５，１＋４＋３＝８，１＋５＋６＋１＝１３，・・・

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【３】三角数とパスカルの三角形

　先頭の列は常に１となり，その隣の斜めの列には自然数１，２，３，４，・・・，３番目の斜めの列には三角数１，３，６，１０，・・・．

　三角数Ｔnも再帰的（同じ規則を反復的に実行する）に書くと，

　　Ｔn＝Ｔn-1＋ｎ，

　　１＋２＝３，３＋３＝６，６＋４＝１０，１０＋５＝１５，・・・

　また，三角数の和は

　　ΣＴn＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６＝１，４，１０，２０，・・・

となり，４番目の斜めの列に見出される．

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