■計算可能な多胞体（その９）
ｎ＝３のとき，空間充填２（２^n−１）胞体と空間充填２^n＋２ｎ胞体は同形（切頂八面体）になることを注意しておく．切頂八面体はすべての次元を通じて唯一，空間充填２（２^n−１）胞体かつ空間充填２^n＋２ｎ胞体という性質をもつ多面体である．このことは３次元平行多面体の元素数が１であることと密接に関係している．
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【１】２（２^n−１）胞体の元素の頂点数
正単体の基本単体をｎ−１回切頂・切稜すると２ｎ胞体になる．この多面体のすべての頂点を求めてみたところ，頂点数は２^n個あり，この多面体は超立方体と組み合わせ同値であることが確認された．
胞数２ｎ，頂点数２^nの多胞体を対称超平面で切半すると，切断面はｎ−１次超立方体（頂点数２^n-1）と組み合わせ同値になることが予想されるが，実際に計算してみると
ｎ 切断面 上 下 計
３ ４ ２ ２ ８
４ ６ ５ ５ １６
５ １２ １０ １０ ３２
６ ２２ ２１ ２１ ６４
７ ４４ ４２ ４２ １２８
８ ８６ ８５ ８５ ２５６
９ １７２ １７０ １７０ ５１２
１０ ３４２ ３４１ ３４１ １０２４
となって，頂点数２^nが概３等分されていることがわかった．
２^nは３では割り切れないが，
２^n＝１ （ｍｏｄ３）
２^n＝２ （ｍｏｄ３）
であるから，概３等分されるのである．
ｎ 頂点数
３ ４＋２＝６
４ ６＋５＝１１
５ １２＋１０＝２２
６ ２２＋２１＝４３
７ ４４＋４２＝８６
８ ８６＋８５＝１７１
９ １７２＋１７０＝３４２
１０ ３４２＋３４１＝６８３
奇数次元→偶数次元：２倍して１引く
偶数次元→奇数次元：２倍する
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【２】パスカルの三角形の恒等式
ｓｕｍ ｍｏｄ３
１ １ ２ ２
１ ２ １ ４ １
１ ３ ３ １ ８ ２
１ ４ ６ ４ １ １６ １
パスカルの三角形では，以下の有名な恒等式が知られている．
（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）＋（ｎ，ｎ）＝２^n
（ｎ，０）−（ｎ，１）＋・・・＋（−１）^n（ｎ，ｎ）＝０
（ｎ，０）^2＋（ｎ，１）^2＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）^2＋（ｎ，ｎ）^2＝（２ｎ，ｎ）
しかし，
（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ，ｋ）＝［２^n／３］
となるような整数ｋをうまく定めることはできそうにない．
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【３】Ｌ字型レプタイル
レプタイルとは同形を何枚か組み合わせると元の形の相似形になるような多角形であるが，これらをさらに組み合わせてどんどん大きな相似形を作っていくことで，平面全体を覆うことができる．レプタイル（reptile）は自己複製タイル（replicating tile）の省略形であるが，爬虫類という意味もある．
対称な台形は自己複製可能であるが，それを２個組み合わせたスフィンクス型レプタイルは自己複製可能である．同様に，正方形は自己複製可能であるが，それを３個組み合わせたＬ字型レプタイルも自己複製可能である．
ところで，２^n×２^n−１＝４^n−１＝（４−１）（４^n-1＋４^n-2＋・・・＋１）であるから，２^n×２^n−１は３で割り切れる．実は，Ｌ字型レプタイルには，２^n×２^nのマス目から任意の１マスを切り取っても，Ｌ字型レプタイルを使ってカバーできる．
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これはＬ字型レプタイルのもうひとつの有名な性質で，数学コンテストで何度も取り上げられたことがある．証明は簡単で，数学的帰納法による．すなわち，
［１］２×２のマス目から任意の１マスを切り取っても，Ｌ字型レプタイルを使ってカバーできる．
［２］４×４のマス目から任意の１マスを切り取っても，Ｌ字型レプタイルを使ってカバーできる．（４×４のマス目の中央部にＬ字型がくるようにする）
［３］８×８のマス目から任意の１マスを切り取っても，Ｌ字型レプタイルを使ってカバーできる．（８×８のマス目の中央部にＬ字型がくるようにする）
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