立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについて，角砂糖の各頂点まわりを正八面体状に少しずつ切断し，削ってできた空間は常に多面体で充填することを考える．

　２種類の多面体による空間充填を常に保ったまま相互遷移させると，中間値の定理（のアナログ）により２種類の多面体が同形となる値が存在する．そのとき，この図形は単一空間充填図形となる．

　空間充填２^n＋２ｎ胞体に関する定理

［定理］超立方体［０，２］^nの基本単体の最長辺の中点を通る直交超平面

　　ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝ｎ／２

は基本単体を合同２分割する．なお，この超平面はｎが偶数のときＰn/2を通る．

　この定理は重要で，この２^n＋２ｎ胞体がｎ次元の体心立方格子に対応する空間充填図形であることを示している．

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　「定理」の事実は数式を使ったもので確認することができる．しかし，それは有限のｎ次元までであって，無限次元で確認することはできない．そこで，以下のように証明する．

　超立方体［０，２］^nの基本単体Ｐ

　　Ｐ0（０，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（１，０，０，・・・，０）

　　Ｐ2（１，１，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn（１，１，１，・・・，１）

は同時に超立方体［−１，１］^nの基本単体Ｑであって，

　　Ｑj＝Ｐn-j

となる．

　単一空間充填図形であるから，基本単体Ｐ（Ｑ）は合同２分割されなければならない．

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【１】２^n＋２ｎ胞体の元素の面数

　頂点数（および胞数）はわかったが，中間の次元の辺や面の個数の一般式については気になるところである．基本単体の半切体の胞数を数えるだけならば，座標にこだわらず，単体を切った切り口がどうなるかを順次調べた方が早道である．組み合わせ的方法によって求めてみよう．

　結論を先にいうと，ｆjをｎ次元多面体のｊ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を各次元における面数とおくと，ｎ次元立方体の基本単体の半切体は

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（６，９，５）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（７，１５，１４，６）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１２，３０，３４，２１，７）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１３，４２，６４，５５，２８，８）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（２０，７０，１２０，１２５，８４，３６，９）

となる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ｎ次元単体（図形としてはすべての頂点が直接結ばれている完全グラフ）を切半したと考えてよい．ｊ次元胞（ｊ＝０，１，・・・，ｎ）の中心に相当する点をＰjとするが，切半体はこれを半分ずつに分ける．すなわち，ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のときは｛Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐk-1｝と｛Ｐk，Ｐk+1，・・・，Ｐ2k-1｝というｋ個ずつに，ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のときは中央のＰkを通り｛Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐk-1｝と｛Ｐk+1，・・・，Ｐ2k-1｝のｋ個ずつの組に分ける．したがって，２ｋ−１次元のときに，中央の頂点Ｐkに関する補正を加えればよい．

［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のとき，

　まず切断面上の図形を考える．この切断面はどこの頂点も通らないのでどの辺（一般に胞）と交わるかを見る．切断面上のｊ次元胞はもとの基本単体のｊ＋１次元胞の切断面である．もとの単体のｊ＋１次元胞は合計（ｎ＋１，ｊ＋２）＝（２ｋ，ｊ＋２）個ある．

　そのうち，Ｐk-1以下同士とＰk同士は切断面と交わらないので（ｋ，ｊ＋２）×２を引く必要がある．切断面上のｊ次元胞の数をｓj（ｊ＝０，１，・・・，２ｋ−２）とすると，

　　ｓj＝（２ｋ，ｊ＋２）−（ｋ，ｊ＋２）×２

　　　（ｋ＜ｊ＋２なら後の項は０）

とくに

　　ｓ0＝ｋ^2　　　（これは左右ｋ個ずつの積として当然）

　　ｓ1＝ｋ^2（ｋ−１）

　もとの切半体そのものは切断面と交わらない部分，切断面で切られた部分，切断面上の部分からなる．切断面と交わるｊ次元胞の数は（２ｋ，ｊ＋１）−（ｋ，ｊ＋１）×２，交わらない胞のうち片側に含まれる分（ｋ，ｊ＋１），切断面上ｓjであるから，

　　ｆｊ＝（２ｋ，ｊ＋１）−（ｋ，ｊ＋１）×２＋（ｋ，ｊ＋１）＋ｓj

　　　　＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）＋（ｋ，ｊ＋１）−２（ｋ＋１，ｊ＋２）

　　　（ｋ＜ｊ＋１なら後の項は０）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２

　　ｎ＝３のとき（６，９，５）

　　ｎ＝５のとき（１２，３０，３４，２１，７）

　　ｎ＝７のとき（２０，７０，１２０，１２５，８４，３６，９）

となる．

［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，

　このときは中央次元のＰkを切半面が通るので，その分の別扱いが必要である．しかし，それを除けば切り口のｊ次元胞数ｓj，全体のｊ次元胞数ｆjは前と同じである．そこで表現の便宜上，切り口および全体のｊ次元胞数をｓj’，ｆｊ’と記し，ｓj，ｆｊは奇数次元のときに使う．

　　ｓ0’＝ｓ0＋１　　　（Ｐkを追加）

　　ｓj’＝ｓj＋ｓj−１　　　（ｊ≧１のとき，Ｐkからｊ−１次元胞を射影した分だけ，ｊ次元胞が加わる）

前と同じ理由で

　　ｓj＝（２ｋ，ｊ＋２）＋（２ｋ，ｊ＋１）−（ｋ，ｊ＋２）×２

　　　 ＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）−（ｋ，ｊ＋２）×２

　切断面と交わるｊ次元胞の数は（２ｋ＋１，ｊ＋１）−（ｋ＋１，ｊ＋１）×２，交わらない胞のうち片側に含まれる分（ｋ＋１，ｊ＋１），切断面上ｓj’であるから，

　　ｆj’＝（２ｋ＋２，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

　　　（ｋ＜ｊなら後の項は０）

　　ｆ0’＝ｋ^2＋ｋ＋１

　　ｆ1’＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２

　　ｎ＝２のとき（３，３）

　　ｎ＝４のとき（７，１５，１４，６）

　　ｎ＝６のとき（１３，４２，６４，５５，２８，８）

となる．

　奇数→偶数次元（３次元→４次元，５次元→６次元）については，２項の和が次の値になるというパスカルの三角形に似た漸化式

　　ｆj’＝ｆj＋ｆj-1

が成立する．これは偶数次元のとき切断面がひとつの頂点を通るという特殊性が強くきいているせいである．

　偶数→奇数次元の漸化式を作るとなると，ｋがひとつ大きいときのｆj（２ｋ＋１次元のもの）は次のようになる．

　　ｆj＝（２ｋ＋３，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

これをｆj’で表すことは可能であるが，余り実用的ではないことがわかる．

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【２】まとめ

　二項係数（ｎ，ｒ）において，ｎ＜ｒのときは０と約束すると，ｊ次元胞の個数ｆjは

［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のとき，

　　ｆj＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）＋（ｋ，ｊ＋１）−２（ｋ＋１，ｊ＋２）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２

［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，

　　ｆj＝（２ｋ＋２，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ＋１

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（６，９，５）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（７，１５，１４，６）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１２，３０，３４，２１，７）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１３，４２，６４，５５，２８，８）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（２０，７０，１２０，１２５，８４，３６，９）

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