今回のコラムでは，外接球を有する中心対称な多面体を転がしたとき（rolling）に各面のでる確率を求めてみます．

　転がり運動中は辺で接地していて，辺を中心として回転していると考えられます．多面体が辺で立っていてその真上に重心がある状態を想定してみてください．そのとき，重心の高い面と低い面とがあるならば，重心が低くなる面に落ち着く確率が高くなるでしょう．

　したがって，多面体の重心・辺の中心間距離，重心・面の中心間距離の差が，目のでる確率を規定することがわかります．ただし，ここでは辺の中心とそれを挟む両面の中心，多面体の重心が辺と直交する同一平面上にある場合のみを考えています．

　また，特定の辺を中心として回転する確率は辺の長さに比例して増加しますから，これらの条件を考慮に入れて，任意の切頂立方体をrollingした場合に各面のでる確率を切頂の深さｄの関数として表すことにします．

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【１】切頂立方体（０≦ｄ≦１の場合）

　重心から八角形面までの距離：Ｈ8＝１

　重心から正三角形面までの距離：Ｈ3＝√３（１−ｄ／３）

は簡単に求められます．

　また，八角形面と正三角形面とに挟まれた辺の中心と重心との距離Ｈ83および長さＬ83はそれぞれ

　　Ｈ83＝｛２（１−ｄ／２）^2＋１｝^(1/2)

　　Ｌ83＝√２ｄ

八角形面と八角形面とに挟まれた辺の中心と重心との距離Ｈ88および長さＬ88は，

　　Ｈ88＝√２

　　Ｌ88＝２（１−ｄ）

　したがって，正三角形面のでる確率Ｐ3は

　　Ｌ83（Ｈ83−Ｈ3）

八角形面のでる確率Ｐ8は

　　Ｌ83（Ｈ83−Ｈ8）＋２Ｌ88（Ｈ88−Ｈ8）

に比例することになります．

　　Ｐ3＋Ｐ8＝１

ですから，

　　Ｐ3＝Ｌ83（Ｈ83−Ｈ3）／｛Ｌ83（Ｈ83−Ｈ3）＋Ｌ83（Ｈ83−Ｈ8）＋２Ｌ88（Ｈ88−Ｈ8）｝

と求められます．

　狭義の切頂立方体（ｄ＝２−√２）は準正多面体ですから，Ｌ83＝Ｌ88です．

　　Ｐ3＝（Ｈ83−Ｈ3）／｛（Ｈ83−Ｈ3）＋（Ｈ83−Ｈ8）＋２（Ｈ88−Ｈ8）｝

を計算してみると

　　八角形面：三角形面＝0.983874：0.0161255

となります．

　また，立方八面体（ｄ＝１）ではＬ88＝０ですから，

　　Ｐ3＝（Ｈ83−Ｈ3）／｛（Ｈ83−Ｈ3）＋（Ｈ83−Ｈ8）｝

　　四角形面：三角形面＝0.762392：0.237608

と計算されます．

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【２】切頂立方体（１≦ｄ≦２の場合）

　　ｒ＝２−ｄ

とおくと

　重心から正方形面までの距離：Ｈ4＝１

　重心から六角形面までの距離：Ｈ6＝√３（ｒ＋１）／３

となります．朝鮮サイコロ（ｄ＝３−√３）は内接球をもつ切頂立方体で，各面の中心と重心との距離が等しくなります（Ｈ4＝Ｈ6）．

　また，正方形面と正六角面とに挟まれた辺の中心と重心との距離Ｈ46および長さＬ46はそれぞれ

　　Ｈ46＝｛２（ｒ／２）^2＋１｝^(1/2)

　　Ｌ46＝√２ｒ

六角形面と六角形面とに挟まれた辺の中心と重心との距離Ｈ66および長さＬ66は，

　　Ｈ66＝√２（ｒ＋１）／２

　　Ｌ66＝√２（１−ｒ）

　正方形面のでる確率Ｐ4は

　　Ｌ46（Ｈ46−Ｈ4）

六角形面のでる確率Ｐ6は

　　Ｌ46（Ｈ46−Ｈ6）＋２Ｌ66（Ｈ66−Ｈ6）

に比例することになります．

　　Ｐ4＋Ｐ6＝１

より，

　　Ｐ4＝Ｌ46（Ｈ46−Ｈ4）／｛Ｌ46（Ｈ46−Ｈ4）＋Ｌ46（Ｈ46−Ｈ6）＋２Ｌ66（Ｈ66−Ｈ6）｝

　実際に計算してみると，切頂八面体（ｄ＝３／２）では

　　四角形面：六角形面＝0.0941103：0.90589

朝鮮サイコロ（ｄ＝３−√３＝１．２６７９５）では

　　四角形面：六角形面＝0.302534：0.697466

となります．

　切頂立方体（１≦ｄ≦２）をrollしたときの各面のでる確率が等しくなるためには四角形面：六角形面＝３：４ですが，このとき切頂の深さｄは数値計算によって，ｄ＝１．１７９となります．また，四角形面と六角形面のでる確率が等しくなる（四角形面：六角形面＝１：１）ためには，ｄ＝１．１３６と計算されます．

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【３】準正多面体［３，４，４，４］の場合

　ｄ＝２（√２−１）とおくと　

　重心から正三角形までの距離：Ｈ3＝√３（ｄ＋１）／３

　重心から六角形面までの距離：Ｈ4＝１

　また，正三角形面と正方形とに挟まれた辺の中心と重心との距離Ｈ34および長さＬ34はそれぞれ

　　Ｈ34＝｛２（ｄ／４＋１／２）^2＋（ｄ／２）^2｝^(1/2)

　　Ｌ34＝ｄ

正方形面と正方形面とに挟まれた辺の中心と重心との距離Ｈ44および長さＬ44は，

　　Ｈ44＝｛（ｄ／２）^2＋１｝^(1/2)

　　Ｌ44＝ｄ

　　Ｐ4＋Ｐ6＝１

さらに，準正多面体ですからすべての辺の長さは等しく（Ｌ34＝Ｌ44）

　　Ｐ4＝（Ｈ34−Ｈ3）／｛（Ｈ34−Ｈ3）＋（Ｈ34−Ｈ4）＋２（Ｈ44−Ｈ4）｝

と求められます．ｄ＝２（√２−１）を代入して，実際に計算すると

　　三角形面：四角形面＝0.0976515：0.902348

となります．

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【４】まとめ（tossingとrollongの確率比較）

　切頂立方体（tossing）　　八角形面：三角形面＝0.906684：0.0933161

　切頂立方体（rolling）　　八角形面：三角形面＝0.983874：0.0161255

　立方八面体（tossing）　　四角形面：三角形面＝0.649038：0.350962

　立方八面体（rolling）　　四角形面：三角形面＝0.762392：0.237608

　切頂八面体（tossing）　　四角形面：六角形面＝0.212643：0.787357

　切頂八面体（rolling）　　四角形面：六角形面＝0.0941103：0.90589

　朝鮮サイコロ（tossing）　四角形面：六角形面＝0.406665：0.593335

　朝鮮サイコロ（rolling）　四角形面：六角形面＝0.302534：0.697466

　斜立方八面体（tossing）　三角形面：四角形面＝0.157896：0.842104

　斜立方八面体（rolling）　三角形面：四角形面＝0.0976515：0.902348

　サイコロを転がすと勢いがつくので小さな面がでる確率は低くなります．たとえば，朝鮮サイコロではtossingでは約４：６，rollingでは約３：７となるのですが，２種類の面をもつこれらの多面体では，小さい面がでる確率は１０％程度低くなることがわかります．

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