三角形，四角形についての等式・不等式を紹介したい．

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　任意の三角形に対して

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

が成り立つ．

　この式は

　　γ＝π−（α＋β）

として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明される．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられる．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではないが，きっと多くの人の美意識にも訴えるに違いない（希望）．

　同様に，任意の三角形に対して

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝４ｃｏｓα／２ｃｏｓβ／２ｃｏｓγ／２

　　ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝４ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　　ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ３β＋ｓｉｎ３γ＝−４ｃｏｓ３α／２ｃｏｓ３β／２ｃｏｓ３γ／２

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝１＋４ｓｉｎα／２ｓｉｎβ／２ｓｉｎγ／２

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　等式の世界も面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．

　鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

前項より，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

したがって，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３

であるから，

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３　　　（等号は正三角形のとき）

を容易に証明することができる．

　少し気分を変えて，次の不等式はどうだろうか？

（問題）

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８

（証明）

　　２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）

　≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）

　これより極大値を計算すると，３√３／８が得られる．なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

また，正弦法則

　　ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ

より，

　　ａｂｃ≦３√３Ｒ^3

と同値である．

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（問題）△ＡＢＣ内の１点をＰ，面積を△とすると，

　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧２√（（√３）△）

等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐが重心のときに限る．

（証明）

　ｎ角形の周の長さが与えられているとき，面積の最大のものは正ｎ角形であるから，

　　Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）

等号は正ｎ角形に対してのみ成り立つ．

　そこで，Ｐの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに関する対称点をＡ’，Ｂ’，Ｃ’とし，六角形ＡＣ’ＢＡ’ＣＢ’に不等式

　　Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）

を使えばよい．ここで，Ｌ＝２（ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ），Ｓ＝２△

　なお，△≧√（２７）ｒ^2が成り立つので，

　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧６ｒ

これは，エルデシュの定理の特別な場合になっていて，シュライバーの定理とも呼ばれる．

　一方，四角形については，プトレマイオス（トレミー）の定理「円に内接する四角形の対角線の積は，対辺の積の和に等しい」がある．

　　ＡＣ・ＢＤ＝ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ

　この定理において，もし四角形が長方形ならば

　　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2

となり，ピタゴラスの定理に帰着する．

　また，４点が同一円周上にないとき，不等式

　　ＡＣ・ＢＤ＜ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ

が成り立つ．

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