■ワイソフ計量空間(その8)

 「ワイソフ構成を決めると,n次元準正多胞体がひとつ定まる.したがって,ワイソフ構成を決めることは,n次元準正多胞体を定めることと等価である.」を補足しておきたい.

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 このことは,幾何学的に説明すると,単体の各面は共面(平行)にならないことと同様である.自明といってもよい.各面は必ず交差するからである.

 正確に表現すると,点Qの座標を求めるにはn元1次方程式を解くことになるのだが,これが非特異であることが示せればよい.

 たとえば,4次元正軸体系では

  |1 −1  0  0| |1 0 0 0|

  |0  1 −1  0|=|0 1 0 0|=1≠0

  |0  0  1 −1| |0 0 1 0|

  |0  0  0  1| |0 0 0 1|

まず,第4行を第3行に加えて,さらに第3行を第2行に,第2行を第1行に加えれば,対角行列式となる.対角行列の行列式の値は対角要素の積になるから,非特異となることが証明されたことになる.

 4次元正単体系では,直交座標を斜交座標化することによって,

  |a1 −a2  0   0| |a1 0 0  0|

  |0  a2 −a3  0|=|0 a2 0  0|=a1a2a3a4≠0

  |0  0  a3 −a4| |0 0 a3 0|

  |0  0  0  a4| |0 0 0 a4|

 すなわち,人間の年齢なら負の値はとらないとか(一般常識),水の温度は0℃以上100℃以下とか(物理学的性質)と同様の常識で説明できる.

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