準正多胞体の面数ｆkと原正多胞体の面数ｇｊとの間に，整数係数による線形関係

　　ｆk＝ｌｇ0＋ｍｇ1＋ｎｇ2＋・・・

が成り立ちそうなので，そのワイソフ構成を用いた簡単な算術規則が存在するに違いない・・・．

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　何をいいたいのか，まず，それについて述べてみたい．３次元準多面体，たとえば，切頂八面体はすべての次元を通じて，唯一

［ａ］空間充填２（２^n−１）胞体

かつ

［ｂ］空間充填２^n＋２ｎ胞体

という性質をもつ多面体である．また，その面数ベクトルはｆ＝（２４，３６，１４）で与えられる．

［ａ］の場合，原正多面体は正四面体で，その面数ベクトルはｇ＝（４，６，４）である．表現の仕方は一意ではないが，たとえば，

　　２４＝６・４　　（ｌ，ｍ，ｎ）＝（６，０，０）

　　３６＝６・６　　（ｌ，ｍ，ｎ）＝（０，６，０）

　　１４＝１・４＋１・６＋１・４　　（ｌ，ｍ，ｎ）＝（１，１，１）

と書くことができる．

［ｂ］の場合，原正多面体は正八面体で，その面数ベクトルはｇ＝（６，１２，８）である．表現の仕方は一意ではないが，たとえば，

　　２４＝２・６　　（ｌ，ｍ，ｎ）＝（２，０，０）

　　３６＝３・１２　　（ｌ，ｍ，ｎ）＝（０，３，０）

　　１４＝１・６＋０・１２＋１・８　　（ｌ，ｍ，ｎ）＝（１，０，１）

と書くことができる．

　ここでは，特定の次元，特定の準正多面体を使って説明したが，このような関係がすべての次元，すべての準正多面体について成り立つと予想される．すなわち，これは準正多面体版に拡張したオイラーの多面体公式と呼んでもいいものである．

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　幾何学的に説明すると，準正多胞体は原正多胞体の基本単体のｎ次元面の中心Ｐkと中心Ｏを結ぶ直線に垂直にｎ次元超平面で切頂，切稜したものであるから，このような関係式が成り立つことは自明のように思われる．

　すなわち，人間の年齢なら負の値はとらないとか（一般常識），水の温度は0℃以上100℃以下とか（物理学的性質）と同様の常識で説明できるのではないかという気もするのであるが，どの本にも記載されていないし，ましてやその証明も読んだことがない．

　いまのところ，頂点数ｆ0，ファセット数ｆn-1については正しいことが証明されたが，任意の次元の辺や面の個数ｆkの一般式についても成り立つだろうと予想され，近い将来証明されるであろうと期待されるのである．

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