３次元準正多面体については古くから知られていたが，４次元以上の準正多胞体については，１９世紀中頃，シュレーフリが一部言及したことに始まる．その後，コクセターが詳しく研究したが，５次元以上の準正多胞体についてはコクセターの研究のごく一部に理論的な記述がみられるものの，具体的な研究はこれまで皆無に近かった．そのため，ｋ次元面数ｆkが知られている準正多胞体はほとんど存在しない．

　準正多胞体を構成する場合，その頂点となる基準点Ｑを決めれば，あとは鏡映することによって芋づる式にすべての頂点の位置を決定することができる．また，そのような頂点の決め方をワイソフ構成という．

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【１】ワイソフ計量空間

　３次元の場合，基本単体の４つの面は直角三角形で，中心と結ばれる３つの稜線Ｐ0Ｐ3，Ｐ1Ｐ3，Ｐ2Ｐ3の長さはそれぞれ外接球，中接球，内接球の半径に一致する．たとえば，正軸体の場合，

　　Ｐ0（１，０，０）

　　Ｐ1（１／２，１／２，０）

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３）

　　Ｐ0Ｐ3＝１

　　Ｐ1Ｐ3＝√２／２

　　Ｐ2Ｐ3＝√３／３

と計算される．

　ここでＰ0，Ｐ1，Ｐ2はそれぞれ正軸体の０次元面，１次元面，２次元面の中心の座標である．多胞体の中心Ｏからｋ次元面の中心Ｐkに向かうベクトルを組にしたものを

　　（ｖ0，ｖ1，・・・，ｖn-1）

で表すことにする．

　一般にｎ次元多胞体はファセットを定める不等式で記述されることから，しばしば勘違いされるのであるが，ワイソフ構成（ｍ0，ｍ1，・・・，ｍn-1）は，このベクトルの組（ｖ0，ｖ1，・・・，ｖn-1）に対してそのスイッチをオンオフするパラメータ

　　（ｍ0ｖ0，ｍ1ｖ1，・・・，ｍn-1ｖn-1）

ではない．

　それではなにかというと，たとえば，３次元の場合，基準点Ｑが三角形の内部Ｐ0Ｐ1Ｐ2にあるのか，３辺の上Ｐ0Ｐ1，Ｐ0Ｐ2，Ｐ1Ｐ2にあるのか，３頂点の上Ｐ0，Ｐ1，Ｐ2にあるのか，７種類のいずれかにあるのかを示すのが形状ベクトルである．３次元の場合，それぞれの形状ベクトルは［１，１，１］，［１，１，０］，［１，０，１］，［０，１，１］，［１，０，０］，［０，１，０］，［０，０，１］と表記される．

　一般に，ｎ次元空間においては基本単体の構成要素の２^n−１種類のいずれかにあるのかを示すような頂点の決め方をワイソフ構成という．ワイソフ構成はｎ次元ベクトル

　　ｍ＝（ｍ0，ｍ1，・・・，ｍn-1）

　　ｍiは０または１で，同時に０であってはならない

として表記することができる．

　ワイソフ構成を決めると，ｎ次元準正多胞体がひとつ定まる．したがって，ワイソフ構成を決めることは，ｎ次元準正多胞体を定めることと等価である．そして，このようにして決定されたｎ次元準正多胞体は格子間距離が１で，２頂点間の距離やその経路数が定まる計量空間になるのである．

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【２】ワイソフ計量空間を使って求められること

［１］ｎ次元準正多胞体にはどれだけの種類があるか？

　３次元正多面体は５種類あり，正四面体は自己双対である．３次元準正多面体は１３種類あり，製作法から

　　切頂型・・・７種類

　　切頂切稜型・・・４種類

　　ねじれ型・・・２種類

と分類される．ねじれ型は特殊型であって，これの高次元対応物がいくつあるかはわかっていない．そのため，ここでは切頂型・切頂切稜型準正多胞体のみ扱うことにする．

　４次元正多胞体は６種類あり，正５胞体，正２４胞体は自己双対である．５次元以上の正多胞体は３種類あり，正ｎ＋１胞体は自己双対である．非自己双対の場合，切頂型・切頂切稜型準正多胞体は

　　２^n−１

自己双対の場合，切頂型・切頂切稜型準正多胞体は

　　２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−１

種類ある．

　３次元のねじれ立方体とねじれ１２面体に相当する特殊型は取り扱わないことにするが，重複するものを除くことによって，下表が得られる．

次元　　正多胞体　　準正多胞体

３　　　　　　５　　　　　１１（重複３を除く：７×２＋５−５−３）

４　　　　　　６　　　　　３９（重複３を除く：１５×２＋９×２−６−３）

５　　　　　　３　　　　　４７

６　　　　　　３　　　　　９５

ｎ（≧５）　　３　　　　　２^n＋２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−５

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］ｎ次元切頂型準正多胞体，ｎ次元切頂切稜型準正多胞体にはどれだけの種類があるか？　（正多胞体は除く）

次元　　正単体切頂型　　　正単体切頂切稜型

３　　　　　　２　　　　　　　　２

４　　　　　　３　　　　　　　　５

５　　　　　　４　　　　　　　１４

６　　　　　　５　　　　　　　２９

ｎ　　　　ｎ−１　　　２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−ｎ−１

次元　　正軸体切頂型　　　正軸体切頂切稜型

３　　　　　　３　　　　　　　　２

４　　　　　　５　　　　　　　　８

５　　　　　　７　　　　　　　２２

６　　　　　　９　　　　　　　５２

ｎ　　　２ｎ−３　　　　２^n−２ｎ

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］準正多面体の面数公式

　目標はワイソフ構成が与えられた高次元準正多面体の面数公式を求めることである．結論を先にいうと，ｎ次元正単体系とｎ次元正軸体系のｆ0とｆn-1は計算可能であった．これまで，６次元までのワイソフ構成が与えられた高次元準正多面体の面数ｆkがコンピュータを使った総当たり的な探索手法によって求められているが，ｆ0とｆn-1公式の計算結果とコンピュータを用いた結果は一致することが確認されている．

［ａ］ｆ0公式

　正多胞体は鏡映（反転）すると合同になる単体群に分割される．それが基本単体である．正単体では（ｎ＋１）！個，正軸体・立方体では２^nｎ！個の基本単体に分割される．準正多胞体では点Ｑが決まればあとは鏡映することによってすべての頂点の位置を決定することができる．

　ワイソフ構成が（１，１，・・・，１）すなわち同じ位置に複数の頂点がない場合，正単体系では頂点数（ｎ＋１）！，正軸体系では頂点数２^nｎ！になる．また，これらは単純多面体であるがら，辺数はｆ1＝ｎ／２・ｆ0で与えられる．この多面体のｋ次元面数公式については完成している．

　それ以外の場合は，ｎ次元の正軸体も正単体もファセットは等しく，（ｎ−１）次元正単体であることを用いる．すなわち，ひとつの稜線を構成する点の数をｋ1（常に２），ひとつの多角形を構成する辺の数をｋ2，・・・とおくと，ｎ次元正軸体は

　　（２，３，４，・・・，ｎ，２^n）

ｎ次元正単体は

　　（２，３，４，・・・，ｎ，ｎ＋１）

であることを用いて，以下のように経路数を計算する．

［０］ｋ次元胞数をｇkとおく．

　　ｎ次元正軸体：ｇk＝（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

　　ｎ次元正単体：ｇk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

［１］点ＱがＰkにあるとき

　　ｆ0＝Ｇkｇk，　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｋ＋１）＝１

［２］点ＱがＰjＰkにあるとき

　ＰjＰk（ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかに一致する．

　当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｇk

　　ｊ＝ｋ−１ならばＧk＝（ｋ＋１，ｋ）＝（ｋ＋１，１）＝ｋ＋１

　　ｊ＝ｋ−２ならばＧk＝（ｋ＋１，ｋ−２）＝（ｋ＋１，２）＝ｋ（ｋ＋１）／２

となる，

［３］点ＱがＰiＰjＰkにあるとき

　ＰiＰjＰk（ｉ＜ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかとｊ次元胞の中心Ｐjからｉ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｊ次元胞は何個のｉ次元胞で構成されているかに依存する．

　すると，当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）（ｊ＋１，ｉ＋１）

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｇk

　　ｊ＝ｋ−１ならば（ｋ＋１，ｋ）＝（ｋ＋１，１）＝ｋ＋１

　　ｉ＝ｊ−１ならば（ｊ＋１，ｊ）＝（ｊ＋１，１）＝ｊ＋１

となり，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）（ｊ＋１，ｉ＋１）＝（ｋ＋１）（ｊ＋１）＝ｋ（ｋ＋１）

となる．

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［ｂ］ｆn-1公式

　胞数ｆn-1を数えるだけならば，座標にこだわらず，ファセットが縮退しているか否かどうかを順次調べた方が早道である．

　ファセットが縮退しているか否かどうかは，ワイソフ構成から以下のようにして求めることができる．

［１］（１，０，・・・，０）→［０，０，・・・，１］

　　　（０，０，・・・，１）→［１，０，・・・，０］

［２ａ］ワイソフ構成の最も左にある１と最も右にある１の間の成分をすべて１にする．

［２ｂ］隣の成分が０である１を０に変更する．

［２ｃ］両端の成分を１にする．

　こうして

　　（ｍ0，ｍ1，・・・，ｍn-1）→［ｂ0，ｂ1，・・・，ｂn-1］

と変換されるが，

　　ｆn-1＝Σｂkｇk

が成り立つ．

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【３】現状と課題

　頂点数ｆ0，ファセット数ｆn-1はわかったが，任意の次元の辺や面の個数ｆkの一般式については気になるところである．

　準正多胞体の場合も，正多胞体の場合のように母関数を用いてｆk公式が求められればそれに越したことはないのであるが，３次元の場合も知られていない．

　ｆ2以上はmetric structureが必要になると思われるが，ｆ1についてはropological combinatorial structureだけで求められるかもしれない．ｆ0公式がわかっているわけであるから，その頂点の次数がわかればすぐにｆ1公式は求められるはずである．すなわち，組み合わせ的方法によって求めてみるのがよさそうであるが，意外に難しい．

　現在，４次元正単体系・正軸体系の辺数ｆ1は完成しているが，５次元以上については不完全である．

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