【１】４次元の空間充填形

　（４，３，３，４）（３，３，４，３）（３，４，３，３）はそれぞれ正８胞体，正１６胞体，正２４胞体による４次元の空間充填形です．

　このうち，（４，３，３，４）は正８胞体（４次元超立方体）による空間充填形で，格子点を順次結んでできる４次元単純立方格子をなしますから，ハミルトンの四元数

　　Ｈ＝ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ

において，ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数に限った「四元整数」と同一視することができます．

　四元整数は乗法の交換法則が成り立たない非可換体（環）ですが，４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの３次元球面上には必ず格子点があることを主張しているのが「ラグランジュの定理」です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】高次元の星形正多胞体

　空間充填系と星形正多胞体は拡張された正多胞体と考えることができます．したがって，正多胞体，空間充填形の次には星形正多胞体の話をするのが筋でしょう．

　３次元星形正多胞体が４通りしかないことは，１８１１年，コーシーによって証明されています．正多面体では

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

でしたが，星形正多胞体ｐ，ｑに５／２も許すのですが，結局，ｐ，ｑは３，５，５／２しか許されません．星形正多面体ではｐ，ｑは整数とは限らず，有理数になるのですが，辺数はすべて３０本，基本単体数１２０個です．また，複合正多面体（雪形正多面体）５通りであることが知られています．

　４次元星形正多胞体の場合，正多胞体の

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

において，ｐ，ｑ，ｒは３，４，５，５／２しか許されません．結局，４次元星形正多胞体が１０通りであることは，１９１５年，ファン・オスが不完全ながら証明し，１９３１年，コクセターにより完全な証明が与えられました．その基本単体数１４４００個です．４次元雪形正多胞体は４６通りあります（コクセター，１９３３年）．１種類の星形多角形による平面充填は不可能なのですが，４次元星形正多胞体による４次元空間充填も同様の結果（不可能）です．

　なお，５次元以上の星形正多胞体も不可能ですから，星形正多胞体は４次元で多彩となり，そこで突然終わりになる・・・５次元以上にはそもそも星形正多胞体がないので，５次元以上では３種類の標準正多胞体がすべてということになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】４次元正多胞体の包含関係の拡張

　１８１１年のコーシーの証明は，今日の用語を使うと，星形正多面体の自分自身への変換群が３次元空間の回転群の有限部分群であり，それが正２０面体群の場合しかないことを示しました．

　同様に４次元星形正多胞体の場合をヘスが示したのですが，このことによって，４次元１２０胞体は他の４次元正多胞体，１０種類の４次元星形正多胞体を包含することのできる万有多胞体ということになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝