菱形の１辺の長さと外接球の半径の関係についての照会があったので，計算してみたい．なお，この多面体が内接球をもつかどうかについては，計算していない．

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【１】計量（その１）

　菱形の対角線の長さを２ｄと２，また，この菱形の鋭角が６０°より大きく９０°より小さいとすると，ｄの取りうる値は

　　１＜ｄ＜√３

の範囲にあります．

　菱形の１辺の長さをＬとすると，Ｌ＝（ｄ^2＋１）^1/2

　菱面体の中心の座標は（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）ですから，８頂点のうち６つ

　　（ｄ，１，０），（ｄ，−１，０），（２ｄ，０，０）

　　（ｘ，０，ｚ），（ｄ＋ｘ，１，ｚ），（ｄ＋ｘ，−１，ｚ）

までの距離ｒ1はすべて等しく

　　ｒ1^2＝（ｘ^2＋ｚ^2）／４＋１＝（ｄ^2＋１）／４＋１

と計算されます．すなわち，これらは半径ｒ1の同心球面上に位置します．

　　ｒ1^2＝Ｌ^2／４＋１

　　（ｒ1／Ｌ）^2＝１／４＋１／Ｌ^2＝１／４＋１／（ｄ^2＋１）

　ｄ＝√（１３／７）を代入すると

　　（ｒ1／Ｌ）^2＝１／４＋１／Ｌ^2＝１／４＋７／２０＝３／５

　　ｒ1／Ｌ＝√（３／５）＝．７７４５９７

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【２】計量（その２）

　扁長菱面体の８頂点のうち６つは同心球面上に位置しますが，菱形の鋭角が３つ集まって構成される２つの頂点はこの球には内接しません．すなわち，この菱面体の８つの頂点は２つの同心球面上（６つは内側の球面に，２つは外側の球面に）に位置することになります．

　菱形の鋭角が３つ集まって構成される２つの頂点

　　　（０，０，０），（２ｄ＋ｘ，０，ｚ）

までの距離は等しく

　　Ｒ^2＝（ｄ＋ｘ／２）^2＋（ｚ／２）^2＝（９ｄ^2−３）／４

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【３】計量（その３）

　２つの頂点を切頂して球に内接する多面体を作ったわけですが，菱形六面体を球に内接するように切頂すると，新たに正三角形面が２面できます．

　そこで，切頂によってできる正三角形面

　　（ｔｄ，ｔ，０），（ｔｄ，−ｔ，０），（ｔｘ，０，ｔｚ）

　　（２ｄ＋ｘ−ｔｄ，−ｔ，ｚ），（２ｄ＋ｘ−ｔｄ，ｔ，ｚ），（２ｄ＋ｘ−ｔｘ，０，ｚ−ｔｚ）

のそれぞれの中心（重心）

　　（（２ｄ＋ｘ）ｔ／３，０，ｚｔ／３）

　　（（２ｄ＋ｘ）（１−ｔ／３），０，ｚ（１−ｔ／３））

を通る球の半径ｒ2を求めてみることにします．

　この球の半径は，前節の６頂点を通る球の半径

　　ｒ1^2＝（ｘ^2＋ｚ^2）／４＋１＝（ｄ^2＋５）／４

より小さく

　　ｒ2^2＝｛（ｄ＋ｘ／２）^2＋（ｚ／２）^2｝（１−２ｔ／３）^2

　　　　＝Ｒ^2（１−２ｔ／３）^2

で与えられます．

　したがって，Ｒ／ｒ2比は　

　　Ｒ／ｒ2＝１／（１−２ｔ／３）＝３／（１−２ｔ）

となりますが，ここでｔは切頂比であって

　　ｔ＝２（ｄ^2−１）／（ｄ^2＋１）

と計算されます．

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