オイラーは素数をかなりの確率で生成する公式（２次多項式）

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

を発見しています．この公式はｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．

　４１，４３，４７，５３，６１，７１，８３，９７，１１３，１３１，

　１５１，１７３，１９７，２２３，２５１，２８１，３１３，３４７，

　３８３，４２１，４６１，５０３，５４７，５９３，６４１，６９１，

　７４３，７９７，８５３，９１１，９７１，１０３３，１０９７，１１６３，

　１２３１，１３０１，１３７３，１４４７，１５２３，１６０１

　オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

　また，オイラーは，２次多項式

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

において，ｑが素数

　　２，３，５，１１，１７，４１

のとき，

　　ｆq（０），ｆq（１），・・・，ｆq（ｑ−２）

がすべて素数になることを観察しています．（ｆq（ｑ−１）＝ｑ^2は素数ではありません．）

　しかし，素数

　　７，１３，１９，２３，２９，３１，３７

に対して，このことは成立しません．

　　ｆ7（１）＝９，ｆ13（１）＝１５，ｆ19（１）＝２１，ｆ23（１）＝２５，

　　ｆ29（２）＝３４，ｆ31（１）＝３３，ｆ37（１）＝３９

　これらの事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何なのでしょうか．

　オイラーの有名な素数生成式

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

は，虚２次体の理論と深く関係しています．

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【１】ラビノヴィッチの定理

　ｆq（ｘ）が０≦ｘ≦ｑ−２なるすべてのｘについて素数となることと虚２次体Ｑ（√ｄ）との関係が，ラビノヴィッチにより示されています（１９１２年）．

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　　ｑ＝−ｄ　　　　　　　　

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｑ

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　　ｑ＝（１−ｄ）／４

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

とおきます．

　［２］がオイラーの公式に対応しているわけですが，連続する０≦ｘ≦ｑ−２に対してすべて素数になるには

　　「ｑが素数で，虚２次体Ｑ（√１−４ｑ）が類数１をもつときに限る．」

というのが，ラビノヴィッチの定理です．

　類数１については後述しますが，［２］でｄ＝−１６３＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝４１．したがって，

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

となります．このようにして，上の現象は虚２次体Ｑ（√−１６３）と関係していることがわかります．

　同様に，１変数の２次多項式

　　ｎ^2＋ｎ＋１７

も高い確率で素数を生成しますが，ｄ＝−６７＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝１７ですから，虚２次体Ｑ（√−６７）と関係しているというわけです．

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【２】ベイカー・スタークの定理

　オイラーの２次多項式において，最初のｑ−１個がすべて素数となるような素数ｑ（＞４１）は存在するのでしょうか．もし存在するならば，そのようなｑは無限にあるのでしょうか．あるいは，有限個ならば最大のｑはいくつになるのでしょうか．

　１９６６年，ベイカーとスタークは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したのですが，それによると，

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

　したがって，虚２次体Ｑ（√１−４ｑ）が類数１をもつのは，

　　４ｑ−１＝７，１１，１９，４３，６７，１６３

すなわち，

　　「ｑが素数で，２，３，５，１１，１７，４１に限る．」

というものです．

　もし，そのような素数が無限に多く存在すれば，任意の長さの素数列を生成することができるのですが，ベイカー・スタークの定理はこれが成立しないことを示していて，

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

が最も長く連続した整数点において素数値をとる多項式であるというわけです．

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