有名な幾何の問題である．

［Ｑ］△ＡＢＣのＢＣを延長した線上に点Ａ’がありＢＣ＝ＣＡ’．点Ｂ’，Ｃ’も同様である．△ＡＢＣ＝１のとき，△Ａ’Ｂ’Ｃ’＝？

［Ａ］新たにできる３つの三角形の面積はそれぞれ２であるから，△Ａ’Ｂ’Ｃ’＝７

［Ｑ］△ＡＢＣのＢＣを延長した線上に点Ａ’があり２ＢＣ＝ＣＡ’．点Ｂ’，Ｃ’も同様である．△ＡＢＣ＝１のとき，△Ａ’Ｂ’Ｃ’＝？

［Ａ］新たにできる３つの三角形の面積はそれぞれ６であるから，△Ａ’Ｂ’Ｃ’＝１９

　一般に，各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの図形の三角形小部分の面積のｋ（ｋ−１）倍になるが，もとの三角形は３重に数えられているので，

　　Ｍ＝３ｋ（ｋ−１）＋１

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７

　　ｋ＝３　　　→　Ｍ＝１９

すなわち，ｋ＞１のときはもとの三角形より大きくなり，ｋ＝２のときには７倍になるというわけである．一方，０＜ｋ＜１のときはもとの三角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．

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　これにインスパイアされて，和算風の問題を作ってみた．

［Ｑ］△ＡＢＣの各辺を１：２の比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る△ＰＱＲを考える．３辺の長さａ，ｂ，ｃはすべて整数で，△ＰＱＲがもとの△ＡＢＣと相似になっている．ａ＋ｂ＋ｃ＝５８寸のとき，辺の長さａ，ｂ，ｃを求めよ．

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　余力があれば，以下の問題にも挑戦されたい．

［Ｑ］外円内に甲乙乙丙丙丁の６円が戊円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　（乙戊乙）

　（丙丁丙）

外円の直径は１８寸，甲円の直径が３寸のとき，丁円の直径を求めよ．

［Ｑ］外円内に甲乙乙丙丙の５円が丁円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　（乙丁乙）

　 （丙丙）

外円の直径は３０寸，甲円の直径は丁円の直径に等しいとき，丁円の直径を求めよ．

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