正単体の基本単体をｎ−１回切頂・切稜すると２ｎ胞体になる．この多面体のすべての頂点を求めてみたところ，頂点数は２^n個あり，この多面体は超立方体と組み合わせ同値であることが確認された．

　胞数２ｎ，頂点数２^nの多胞体を対称超平面で切半すると，切断面はｎ−１次超立方体（頂点数２^n-1）と組み合わせ同値になることが予想されるが，実際に計算してみると

ｎ　　　切断面　　　　　上　　　　下　　　　　計

３　　　　　４　　　　　２　　　　２　　　　　８

４　　　　　６　　　　　５　　　　５　　　　１６

５　　　　１２　　　　１０　　　１０　　　　３２

６　　　　２２　　　　２１　　　２１　　　　６４

７　　　　４４　　　　４２　　　４２　　　１２８

８　　　　８６　　　　８５　　　８５　　　２５６

９　　　１７２　　　１７０　　１７０　　　５１２

１０　　３４２　　　３４１　　３４１　　１０２４

となって，頂点数２^nが概３等分されていることがわかった．

　２^nは３では割り切れないが，

　　２^n＝１　　（ｍｏｄ３）

　　２^n＝２　　（ｍｏｄ３）

であるから，概３等分されるのである．

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【１】パスカルの三角形の恒等式

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｓｕｍ　　ｍｏｄ３

　　　　　　　　１　　　１　　　　　　　　　　２　　　　２

　　　　　　１　　　２　　　１　　　　　　　　４　　　　１

　　　　１　　　３　　　３　　　１　　　　　　８　　　　２

　　１　　　４　　　６　　　４　　　１　　　１６　　　　１

　パスカルの三角形では，以下の有名な恒等式が知られている．

　　（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）＋（ｎ，ｎ）＝２^n

　　（ｎ，０）−（ｎ，１）＋・・・＋（−１）^n（ｎ，ｎ）＝０

　　（ｎ，０）^2＋（ｎ，１）^2＋・・・＋（ｎ，ｎ−１）^2＋（ｎ，ｎ）^2＝（２ｎ，ｎ）

　しかし，

　　（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋・・・＋（ｎ，ｋ）＝［２^n／３］

となるような整数ｋをうまく定めることはできそうにない．

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