［Ｑ］△ＡＢＣのＢＣを延長した線上に点Ａ’がありＢＣ＝ＣＡ’．点Ｂ’，Ｃ’も同様である．△ＡＢＣ＝１のとき，△Ａ’Ｂ’Ｃ’＝？

［Ａ］有名な幾何の問題である．新たにできる３つの三角形の面積はそれぞれ２であるから，△Ａ’Ｂ’Ｃ’＝７

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／４　　（４等分）

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７　　　　（７等分）

となる．

　０＜ｋ＜１のときはもとの三角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの三角形より大きくなり，ｋ＝２のときには７倍になる．

　同じく，四角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は，もとの四角形の面積の

　　Ｍ＝２ｋ^2−２ｋ＋１＝２（ｋ−１／２）^2＋１／２

倍になる．０＜ｋ＜１のときはもとの四角形より小さくなり，ｋ＝１／２のとき最小値１／４をとる．ｋ＞１のときはもとの四角形より大きくなり，ｋ＝３／２のときには５／２倍になる．

　各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの図形の三角形小部分の面積のｋ（ｋ−１）倍になるが，もとの三角形は３重に，もとの四角形は２重に数えられているので，それぞれ，

　　３ｋ（ｋ−１）＋１

　　２ｋ（ｋ−１）＋１

になるというわけである．

　しかし，任意のｎ（≧５）角形では，与えられた図形に数えられない部分が生ずるので，同様の公式は存在しないことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　有名な幾何の問題であるが，以上の関係が追跡曲線の問題の解を得るのに重要であるとは気づきにくいだろう．

　正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．

［Ｑ］このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］等角らせん

［Ｑ］正方形の１辺の長さは３０ｍ，それぞれの犬は１ｍ／ｓの速度で動くとする．犬達が正方形の中心で出会うのにどれくらいの時間がかかるか？

［Ａ］等角らせんの伸開線と縮閉線は，もとの等角らせんと合同な等角らせんになる．犬の進む経路と正方形の１辺の長さは等しいからら，３０秒．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝