（その９）ではゼータ関数に関係していると思われる不等式を取り上げたが，今回のコラムではゼータ関数に関係しているかもしれない不等式を取り上げる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］（１−１／２^2）（１−１／３^2）（１−１／４^2）・・・（１−１／ｎ^2）＞１／２を証明せよ．

［Ａ］１−１／ｋ^2＝（ｋ−１）（ｋ＋１）／ｋ^2より，

（１−１／２^2）（１−１／３^2）（１−１／４^2）・・・（１−１／ｎ^2）＝（ｎ＋１）／２ｎ＞１／２

［補］（１−１／２^2）（１−１／４^2）（１−１／６^2）・・・

　　＝（２−１）（２＋１）／２^2・（４−１）（４＋１）／４^2・（６−１）（６＋１）／６^2・・・

　　＝１／２・３／２・３／４・５／４・５／６・７／６・・・

　　＝２／π　　（ウォリス）

　　（１−１／２^2）（１−１／３^2）（１−１／４^2）・・・＝１／２

であるから，

　　（１−１／３^2）（１−１／５^2）（１−１／７^2）・・・

　　＝（３−１）（３＋１）／３^2・（５−１）（５＋１）／５^2・（７−１）（７＋１）／７^2・・・

　　＝２／３・４／３・４／５・６／５・６／７・８／７・・・

　　＝π／４

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］１・３・５・・・（２ｎ−１）／２・４・６・・・２ｎ≦１／√（２ｎ＋１）を証明せよ．

［Ａ］数学的帰納法による証明を掲げる．

［１］１／２≦１／√３

［２］１・３・５・・・（２ｋ−１）／２・４・６・・・２ｋ≦１／√（２ｋ＋１）が成り立つと仮定する．

［３］１・３・５・・・（２ｋ−１）（２ｋ＋１）／２・４・６・・・２ｋ・（２ｋ＋２）≦１／√（２ｋ＋１）・（２ｋ＋１）／（２ｋ＋２）＝√（２ｋ＋１）／（２ｋ＋２）

［４］したがって，

　　√（２ｋ＋１）／（２ｋ＋２）≦１／√（２ｋ＋３）

であることが証明されればよい．

［５］同値な不等式

　　（２ｋ＋１）（２ｋ＋３）≦（２ｋ＋２）^2

は展開すれば簡単に証明できる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝