エルデシュは生涯にわたり取り組みがいのある問題を発案し続けたので，エルデシュの問題と呼ばれるものは数え切れないほどある．たとえば「ｎ！＋１＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，エルデシュ自身は３組の解，４！＋１＝５^2，５！＋１＝１１^2，７！＋１＝７１^2しかないと予想した．現在のところ有限個の解しかないのかどうかもわかっていない．ｎ！＋１＝ｘ^2の解はｎ＝４，５，７のみか？

　ラマヌジャンの問題「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，ｎ＝１０^40までコンピュータ検索したが，ラマヌジャン自身が示した解

　　ｎ＝３，４，５，７，１５

以外の解を発見することはできなかったという．最近，この５組以外の解はないことが証明された．証明はかなり難しいらしい．

　今回のコラムでは，この問題に関係するより初等的な問題

　　「３・２^n＋１＝ｘ^2の整数解をすべて求めよ」

について考えてみたい．

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【１】３・２^n＋１＝ｘ^2の整数解

　　３・２^n＋１＝ｘ^2　　（ｍｏｄ３）

を考えれば，

　　ｎ＞０のとき，１＝ｘ^2

　　ｎ＝０のとき，１＝ｘ^2

ｘは３で割り切れないから，ｘ＝３ｋ＋１あるいはｘ＝３ｋ＋２．

［１］ｘ＝３ｋ＋１のとき

　　３・２^n＋１＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　３・２^n＝９ｋ^2＋６ｋ＝３ｋ（３ｋ＋２）

　　２^n＝ｋ（３ｋ＋２）

　　ｋ＝２→ｘ＝７→ｎ＝４

　　ｋ≧３とすると，４ｋ＞３ｋ＋２＞２ｋより，ｋと３ｋ＋２は同時に２の累乗ではない．

［２］ｘ＝３ｋ＋２のとき

　　３・２^n＋１＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

　　３・２^n＝９ｋ^2＋１２ｋ＋３＝３（２ｋ＋１）（ｋ＋１）

　　２^n＝（３ｋ＋１）（ｋ＋１）

　　ｋ＝０→ｘ＝２→ｎ＝０

　　ｋ＝１→ｘ＝５→ｎ＝３

　　ｋ≧２とすると，４（ｋ＋１）＞３ｋ＋１＞２（ｋ＋１）より，ｋ＋１と３ｋ＋１は同時に２の累乗ではない．

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