■ワイソフ計量空間
正多胞体は鏡映（反転）すると合同になる単体群に分割される．それが基本単体である．正単体では（ｎ＋１）！個，正軸体・立方体では２^nｎ！個の基本単体に分割される．
３次元の場合，基本単体の４つの面は直角三角形で，中心と結ばれる３つの稜線Ｐ0Ｐ3，Ｐ1Ｐ3，Ｐ2Ｐ3の長さはそれぞれ外接球。中接球，内接球の半径に一致する．たとえば，正軸体の場合，
Ｐ0（１，０，０）
Ｐ1（１／２，１／２，０）
Ｐ2（１／３，１／３，１／３）
Ｐ0Ｐ3＝１
Ｐ1Ｐ3＝√２／２
Ｐ2Ｐ3＝√３／３
準正多面体を構成する場合，その頂点となる基準点Ｑを決めれば，あとは鏡映することによってすべての頂点の位置を決定することができる．また，そのような頂点の決め方をワイソフ構成という．
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【１】ワイソフ計量空間
たとえば，３次元の場合，基準点Ｑが三角形の内部Ｐ0Ｐ1Ｐ2にあるのか，３辺の上Ｐ0Ｐ1，Ｐ0Ｐ2，Ｐ1Ｐ2にあるのか，３頂点の上Ｐ0，Ｐ1，Ｐ2にあるのか，７種類のいずれかにあるのかを示すのが形状ベクトルである．
それぞれの形状ベクトルは［１，１，１］，［１，１，０］，［１，０，１］，［０，１，１］，［１，０，０］，［０，１，０］，［０，０，１］と表記される．このような頂点の決め方をワイソフ構成という．
一般に，ｎ次元空間においては基本単体の構成要素の２^n−１種類のいずれかにあるのかを示すのが形状ベクトルである．点Ｑが決まればあとは鏡映することによってすべての頂点の位置を決定することができる．
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【２】ワイソフ計量空間を使って求められること
［１］ｎ次元準正多胞体にはどれだけの種類があるか？
３次元正多面体は５種類あり，正四面体は自己双対である．３次元準正多面体は１３種類あり，製作法から
切頂型・・・７種類
切頂切稜型・・・４種類
ねじれ型・・・２種類
と分類される．ねじれ型は特殊型であって，これの高次元対応物がいくつあるかはわかっていない．そのため，ここでは切頂型・切頂切稜型準正多胞体のみ扱うことにする．
４次元正多胞体は６種類あり，正５胞体，正２４胞体は自己双対である．５次元以上の正多胞体は３種類あり，正ｎ＋１胞体は自己双対である．非自己双対の場合，切頂型・切頂切稜型準正多胞体は
２^n−１
自己双対の場合，切頂型・切頂切稜型準正多胞体は
２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−１
種類ある．
３次元のねじれ立方体とねじれ１２面体に相当する特殊型は取り扱わないことにするが，重複するものを除くことによって，下表が得られる．
次元 正多胞体 準正多胞体
３ ５ １１（重複３を除く：７×２＋５−５−３）
４ ６ ３９（重複３を除く：１５×２＋９×２−６−３）
５ ３ ４７
６ ３ ９５
ｎ（≧５） ３ ２^n＋２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−５
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［２］ｎ次元切頂型準正多胞体，ｎ次元切頂切稜型準正多胞体にはどれだけの種類があるか？ （正多胞体は除く）
次元 正単体切頂型 正単体切頂切稜型
３ ２ ２
４ ３ ５
５ ４ １４
６ ５ ２９
ｎ ｎ−１ ２^(n-1)＋２^[(n-1)/2]−ｎ−１
次元 正軸体切頂型 正軸体切頂切稜型
３ ３ ２
４ ５ ８
５ ７ ２２
６ ９ ５２
ｎ ２ｎ−３ ２^n−２ｎ
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【３】現状と課題
［１］これまで，６次元までのワイソフ構成が与えられた（ねじれ型を除く）高次元準正多面体の面数ｆkがコンピュータ探索によって求められている．
［２］目標はワイソフ構成が与えられた高次元準正多面体の面数公式を求めることである．ｆ0とｆn-1は計算可能であった．
［３］頂点数ｆ0はわかったが，任意の次元の辺や面の個数の一般式については気になるところである．胞数ｆn-1を数えるだけならば，座標にこだわらず，切り口がどうなるかを順次調べた方が早道であった．
［４］ｆ2以上はmetric structureが必要になると思われるが，ｆ1についてはropological combinatorial structureだけで求められるかもしれない．ｆ0公式がわかっているわけであるから，その頂点の次数ｍがわかればすぐにｆ1公式は求められるはずである．すなわち，組み合わせ的方法によって求めてみるのがよさそうであるが，意外に難しい．
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