コラム「トーラス面上の正則平面グラフ」に掲げた

［１］球面上のＫ4

［２］トーラス面上のＫ7

［３］種数６表面上のＫ12

は，ヒーウッドの公式「ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれも

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

色で塗り分けられる」に対応したものである．同じものには見えないが，同等なのだろうか？

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【１】ヒーウッドの公式

　ヒーウッドはｇ個の穴があいたトーラス上の地図に関するオイラーの公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２−２ｇ

を利用して

(1)２個の穴があいているトーラス上の地図はどれも８色で塗り分けられる

(2)３個の穴があいているトーラス上の地図はどれも９色で塗り分けられる

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(3)１０個の穴があいているトーラス上の地図はどれも１４色で塗り分けられる

に引き続いて，

(4)ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれもＨ（ｇ）色で塗り分けられる

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

を証明しました．

　［・］はガウス記号で，

　　ｇ：１，２，３，　４，　５，　６，　７，　８，　９，１０

　　Ｈ：７，８，９，１０，１１，１２，１２，１３，１３，１４

となるのですが，しかし，ヒーウッドはｇ≧２に対してそのような地図が実在することを示すことはできませんでした．そのため，この問題は「ヒーウッド予想」と呼ばれることになりました．

　１９６８年，リンゲルとヤングスは，ｇ個の穴のあいているトーラス上にこれだけの色を必要とする地図が存在することを証明したのですが，ヒーウッド予想（１８９０年）が最終的に証明されるまでには７７年もの歳月が必要だったというわけです．

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【２】トーラス面上のＫ7

［１］もし，Ｋ6が平面的であるならば，ｖ＝６，ｅ＝１５．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝９

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　２７＝３ｆ≦２ｅ＝３０

となって矛盾は生じない．

［２］もし，Ｋ7が平面的であるならば，ｖ＝７，ｅ＝２１．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝１４

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　４２＝３ｆ≦２ｅ＝４２　　（正則）

となって矛盾は生じない．

［３］もし，Ｋ8が平面的であるならば，ｖ＝８，ｅ＝２８．

　　ｆ＝ｅ−ｖ＝２０

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　６０＝３ｆ≦２ｅ＝５６

となって矛盾．

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【３】球面上のＫ4

　もし，Ｋ4が平面的であるならば，ｖ＝４，ｅ＝６．

　　ｆ＝２＋ｅ−ｖ＝４

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　１２＝３ｆ≦２ｅ＝１２　　（正則）

となって矛盾は生じない．

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【４】種数ｇ表面上の正則平面グラフ

　Ｋvが平面的であるならば，ｑ＝ｖ−１，ｅ＝ｖ（ｖ−１）／２．

　　ｆ＝２−２ｇ＋ｅ−ｖ＝２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝３ｆ≦２ｅ＝ｖ（ｖ−１）

　正則正則平面グラフであるためには

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝ｖ（ｖ−１）

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　この方程式には解が無数にあるが，

　　ｇ＝０　→　Ｋ4

　　ｇ＝１　→　Ｋ7

　　ｇ＝６　→　Ｋ12

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【５】まとめ

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　　ｖ^2−７ｖ＋１２−１２ｇ＝０

　　ｖ＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

となって，完全に一致する．

　以下，

　　ｇ＝１１　→　Ｋ15

　　ｇ＝１３　→　Ｋ16

　　ｇ＝２０　→　Ｋ19

　　ｇ＝３５　→　Ｋ24

　　ｇ＝４６　→　Ｋ27

　　ｇ＝５０　→　Ｋ28

　　ｇ＝６３　→　Ｋ31

　　ｇ＝８８　→　Ｋ36

と続く．１＋４８ｇ型の平方数は無数にあるのだろう．

　ともあれ，彩色数はオイラー標数とは別の表面の不変量なのである．

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