■2項定理の近似式(その4)

 ハルモスの概算公式は,ふたりが同じ誕生日である確率が50%になるためには,cを定数として

  c=(−2log(0.5))^1/2〜1.18

  n0>c×(365)^1/2

というものである.

 d0=365とする.d=4d0,2d0,d0/2,d0/4の場合を扱ってみたい.

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【Q1】自分の誕生日のパーティーに大勢の人を招待することにする.自分の誕生日がそのうちのひとりと同じのなる確率が50%を超えるには何人招けばよいか?

(A1)ひとりの誕生日が自分の誕生日と同じにならない確率は(d−1)/d.n人の客がいて,すべて自分の誕生日と同じにならない確率は((d−1)/d)^n.

 自分の誕生日と同じ人がひとりはいる確率は

  1−((d−1)/d)^n>0.5

より,

  d=4d0のとき,n>1012.

  d=2d0のとき,n>506.

  d=d0のとき,n>253.この数は365/2よりかなり大きい.

  d=d0/2のとき,n>127.

  d=d0/4のとき,n>63.

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【Q2】客の中のふたりが同じ誕生日になる確率が50%を超えるには何人招けばよいか?

(A2)このクイズは数多くの本で取り扱われた有名なものである.1番目の人と2番目の人が異なる誕生日である確率は1−1/dである.また,3番目の人が1番と2番の人と誕生日が異なる確率は,2番目の人は1番目の人と異なる日に生まれたとして,1−2/dである.

 したがって,n人全員が異なる誕生日である確率pnは,

  pn=(1−1/d)×(1−2/d)×・・・×(1−(n−1)/d)

となる.求めたい確率pは少なくとも2人同じ誕生日の人がいる確率であるから,

  p=1−pn>0.5

より

  d=4d0のとき,n=46.

  d=2d0とき,n=33.

  d=d0のとき,n=23.

  d=d0/2のとき,n=17.

  d=d0/4のとき,n=12.

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【3】ハルモスの概算公式との比較

                    ハルモスの概算公式

  d=4d0のとき,   n=46    45

  d=2d0のとき,   n=33    32

  d=d0のとき,    n=23    23

  d=d0/2のとき,  n=17    16

  d=d0/4のとき,  n=12    12

 ハルモスの概算公式が十分正確であることがわかるだろう,

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