（その１０）の

　　１７／１２＞√２

　　２６５／１５３＜√３＜１３５１／７８０

などを補足したい．

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【１】連分数

　　√２＝１＋（√２−１）

　　　　＝１＋１／（√２＋１）

　　　　＝１＋１／（２＋（√２−１））

　　　　＝１＋１／（２＋１／（√２＋１））

　　　　＝１＋１／（２＋１／（２＋（√２−１）））

　　　　＝１＋１／（２＋１／（２＋１／（√２＋１）））

これを永久に繰り返すことができます．

　　√２＝［１：２，２，２，・・・］

　この連分数を途中で打ち切ったものを考えると

　　１＋１／２＝３／２＞√２

　　１＋１／（２＋１／２）＝１＋２／５＝７／５＜√２

　　１＋１／（２＋１／（２＋１／２））＝１＋１／（２＋２／５）＝１＋５／１２＝１７／１２＞√２

となって

　　１７／１２＞√２

が得られます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

ですが，連分数展開を用いると

　　φ＝１＋（φ−１）

　　　　＝１＋１／φ　　　（∵φ−１＝１／φ）

　　　　＝１＋１／（１＋（φ−１））

　　　　＝１＋１／（１＋１／φ）

　　　　＝１＋１／（１＋１／（１＋（φ−１）））

　　　　＝１＋１／（１＋１／（１＋１／φ））

より

　　［１：１，１，１，．・・・］＝φ　　（黄金比）

と表すことができます．この連分数展開は幾何学的には「回転する正方形」の問題と関係しています．

　　１＋１／１＝２＞φ

　　１＋１／（１＋１／１）＝１＋１／２＝３／２＜φ

　　１＋１／（１＋１／（１＋１／１））＝１＋１／（１＋１／２）＝１＋２／３＝５／３＞φ

となりますが，きわめて収束が遅いことがわかります．

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　√３の連分数表示は

　　√３＝１＋（√３−１）

　　　　＝１＋１／（（√３＋１）／２）

　　　　＝１＋１／（１＋（√３−１）／２）

　　　　＝１＋１／（１＋１／（√３＋１））

　　　　＝１＋１／（１＋１／（２＋（√３−１）））

　　　　＝１＋１／（１＋１／（２＋１／（√３＋１）／２））

より

　　√３＝［１：１，２，１，２，・・・］

で表されます．

　この連分数を途中で打ち切ったものを考えると

　　１＋１／１＝２＞√３

　　１＋１／（１＋１／２）＝１＋２／３＝５／３＜√３

　　１＋１／（１＋１／（２＋１／１））＝１＋１／（１＋１／３）＝１＋３／４＝７／４＞√３

となりますが，収束が遅いので，ここではバビロニアの方法（ヘロンの方法）を用いることにします．

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【２】バビロニアの方法（ヘロンの方法）

　ａの平方根を求める反復式があります．ｘ0≒√ａから始めて

　　ｘn+1＝（ｘn＋ａ／ｘn）／２

を繰り返します．

　たとえば，ａ＝３のとき，ｘ0＝２から始めると，

　　ｘ1＝（２＋３／２）／２＝７／４＝１．７５

　　ｘ2＝（７／４＋１２／７）／２＝９７／５６＝１．７３２１

たったこれだけで√３の最初の４桁まで正しい値を求めることができる．

　　ｘ3＝（９７／５６＋１６８／９７）／２＝１８８１７／５４３２＝１．７３２０５０８

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