ｆ1公式に難渋しているので，これまでの経過を振り返ることにした．

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【１】ｆn-1公式

　石井源久先生の示したファセット数公式は，原正多面体の面数公式を

　　正単体の面数公式：　　ｇk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　正軸体の面数公式：　　ｇk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　縮退情報　　　　：　　Ｂ＝（ｂ0，・・・，ｂn-1）

とすると，

　　ｆn-1^(n)＝Σ(j=0~n-1)ｇj^(n)ｂj

というものである．ここで，各ｂjは０か１の値をとるから，ゼータ関数ににおける「指標」のようなものと考えることができる．

　　ｆ＝Σχｇ

とした方がその雰囲気が味わえるかもしれない．

　ファセットが縮退しているか否かどうかを表す「指標」は，形状ベクトルから求めることができる．

［１］［１，０，・・・，０］→［０，０，・・・，１］

　　　［０，０，・・・，１］→［１，０，・・・，０］

［２ａ］形状ベクトルの最も左にある１と最も右にある１の間の成分をすべて１にする．

［２ｂ］隣の成分が０である１を０に変更する．

［２ｃ］両端の成分を１にする．

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　一方，私が示した面数公式は，縮退のない多面体に対して

　　正単体の面数公式：　　ｇk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　正軸体の面数公式：　　ｇk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)ｇj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)

というものであって，その多面体が再帰的な構造を有していることを前提として構成したものである．

　ｋ＝ｎ−１のとき，ｆ(k-j)^(n-1ｰj)＝１であるから，縮退した多面体については，面数公式

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~k)ｇj^(n)ｆ(k-j)^(n-1ｰj)ｂj

が成り立つかもしれないと考えるのは自然な発想であろう．

　各ｂjには０か１以外の整数値も許すことにすると

　　ｆk^(n)＝Σ(j=0~n-1)ｇj^(n)ｂj

が成り立つようにすることができるのではないか・・・このように考えて，石井源久先生の「指標」よりもよいものを探求しようと試みたのであるが，うまく行かなかった．

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【２】ｆ0公式

　形状ベクトルによって，ｆ0公式を考えてみる．０がｋ個並ぶと（ｋ＋１）個の変数が同値になるので，組み合わせ論的に考えると，頂点数は

　　正単体系：　ｆ0＝（ｎ＋１）！／（ｋ＋１）！

　　正軸体系：　ｆ0＝２^n・ｎ！／（ｋ＋１）！

個になるはずである．

　これは（例外はあるにせよ）ほぼ正しいことが確認された．もっと正確に計算するには，座標が等しくなるものと０になるものを分離して考える必要があった．すなわち，

［１］形状ベクトル［１，０，０］の場合

　　（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ＝０，ｙ＝ｚ＝０

　→（±ｘ，０，０）の置換であるから６通り

［２］形状ベクトル［０，１，０］の場合

　　（ｘ−ｙ）／√２＝０，ｚ＝０，ｘ＝ｙ

　→（±ｘ，±ｘ，０）の置換であるから１２通り

［３］形状ベクトル［０，０，１］の場合

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝０

　→　ｘ＝ｙ＝ｚ　→（±ｘ，±ｘ，±ｘ）の置換であるから８通り

［４］形状ベクトル［１，１，０］の場合

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２，ｚ＝０

　→（±ｘ，±ｙ，０）の置換であるから２４通り

［５］形状ベクトル［１，０，１］について，

　　（ｙ−ｚ）／√２＝０，ｙ＝ｚ

　　（ｘ−ｙ）／√２＝ｚ

　→（±ｘ，±ｙ，±ｙ）の置換であるから２４通り

［６］形状ベクトル［０，１，１］の場合

　　（ｘ−ｙ）／√２＝０，（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→（±ｘ，±ｘ，±ｚ）の置換であるから２４通り

［７］形状ベクトル［１，１，１］の場合

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→（±ｘ，±ｙ，±ｚ）の置換であるから４８通り

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　現在はＱ数を直接的に求める方法を採用している．すなわち，ｋ次元胞数をｆkとおく．

　　ｎ次元正軸体：ｇk＝（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

　　ｎ次元正単体：ｇk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

［１］点ＱがＰkにあるとき

　　ｆ0＝Ｇkｇk，　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｋ＋１）＝１

［２］点ＱがＰjＰkにあるとき

　ＰjＰk（ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかに一致する．

　当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｇk

　　ｊ＝ｋ−１ならばＧk＝（ｋ＋１，ｋ）＝（ｋ＋１，１）＝ｋ＋１

　　ｊ＝ｋ−２ならばＧk＝（ｋ＋１，ｋ−２）＝（ｋ＋１，２）＝ｋ（ｋ＋１）／２

となる，

［３］点ＱがＰiＰjＰkにあるとき

　ＰiＰjＰk（ｉ＜ｊ＜ｋ）はｋ次元胞の中心Ｐkからｊ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｋ次元胞は何個のｊ次元胞で構成されているかとｊ次元胞の中心Ｐjからｉ次元胞の中心に向かう線分の数であるから，その数はｊ次元胞は何個のｉ次元胞で構成されているかに依存する．

　すると，当該の数は，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）（ｊ＋１，ｉ＋１）

となるから，

　　ｆ0＝Ｇkｇk

　　ｊ＝ｋ−１ならば（ｋ＋１，ｋ）＝（ｋ＋１，１）＝ｋ＋１

　　ｉ＝ｊ−１ならば（ｊ＋１，ｊ）＝（ｊ＋１，１）＝ｊ＋１

となり，

　　Ｇk＝（ｋ＋１，ｊ＋１）（ｊ＋１，ｉ＋１）＝（ｋ＋１）（ｊ＋１）＝ｋ（ｋ＋１）

となる．

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