驚かれるかもしれないが，リーマン予想は合同ゼータ関数に限ればすでに証明されている・・・．

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【１】拡大体Ｆp^nにおける解の個数Ｎ(n)

　フェルマーの問題を拡張する方向としては，一つには指数を大きくすること，

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3　→　ｘ^m＋ｙ^m＝ｚ^m

もう一つには有限体の位数を増すこと，

　　Ｆp　→　Ｆq＝Ｆp^n　（Ｆpのｎ次拡大体：ｑ＝ｐ^n）

の２つの方向が考えられますが，ここでは後者について考えてみることにします．すなわち，この節で取り扱う範囲は

　　ｍ＼ｎ　１　２　３　４　５　・・・

　　１　　　○　○　○　○　○

　　２　　　○　○　○　○　○

　　３　　　○　○　○　○　○

　　５　　　×　×　×　×　×

　　７　　　×　×　×　×　×

ということになります．

　Ｆp^nの０でない元の全体は，位数ｐ^n−１の乗法群をなします．この群のすべての元は

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^(p^n-1)−１＝０，すなわち，ｘ^(p^n)＝ｘ

を満たします．また，

　　（ｘ＋ｙ）^p＝ｘ^p＋ｙ^p　　（和のｐ乗はｐ乗の和）

　　（ｘｙ）^p＝ｘ^pｙ^p　　　　（積のｐ乗はｐ乗の積）

ですから，ｐ乗の算法は体をなしています．一般に，

　　｛ｆ（ｘ）｝^p＝ｆ（ｘ^p）

が成立します．

［注］誤解を避けるために申し添えておきますが，たとえば，

　　Ｚ／９Ｚ＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８｝

（一般にＺ／ｐ^nＺ）では，有限環とはなっても有限体にはなりません．ｎ≧２ならば，Ｆp^nとＺ／ｐ^nＺはまったく違うものなのです．

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　一般に，有限体Ｆpのｎ次拡大体Ｆp^n上の方程式

　　ｘ＋ｙ＝ｚ　　　（ｘ，ｙ，ｚはＦp^nの元）

の（ｘ，ｙ，ｚ）＝０を除いた解の個数はｐ^2n−１であり，これがｐ^n−１個ずつのグループに分かれているので

　　Ｎ(n)＝（ｐ^2n−１）／（ｐ^n−１）＝ｐ^n＋１，Ｎ(1)＝Ｎp

ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2の場合も，同様に

　　Ｎ(n)＝ｐ^n＋１，Ｎ(1)＝Ｎp

となります．

　ところが，ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3 on Ｆp^nについての解の数Ｎ(n)を求めることは簡単ではありません．これを求めるためには

　　c(p)＝ｐ＋１−Ｎ(1)＝ｐ＋１−Ｎp

とおいて，次の関数

　　Z(T)＝(1-c(p)T+pT^2)/(1-T)(1-pT)

を用います．この関数を合同ゼータ関数といいます．

　合同ゼータ関数は数学的知識の積み重ねのうえで定義された関数なので，おいそれとは説明できませんが，Ｎ(n)の母関数であって，ｍ＝１，２のときの合同ゼータ関数は

　　Z(T)＝1/(1-T)(1-pT)

このとき

　　-log(1-T)=T+1/2･T^2+1/3･T^3+･･･

ですから

　　Ｎ(n)/n･T^n=log{1/(1-T)(1-pT)}

=(T+1/2･T^2+1/3･T^3+･･･)+(pT+1/2･p^2T^2+1/3･p^3T^3+･･･)

=Σ(p^n+1)/n･T^n

これより

　　Ｎ(n)＝ｐ^n＋１，Ｎ(1)＝Ｎp

となります．

　　Z(T)＝(1-c(p)T+pT^2)/(1-T)(1-pT)

の場合は

　　Ｎ(n)/n･T^n=log{(1-c(p)T+pT^2)/(1-T)(1-pT)}

=Σ(p^n+1)/n･T^n-(c(p)T-pT^2)-1/2･(c(p)T-pT^2)^2-1/3･(c(p)T-pT^2)^3+･･･

より

N(1)=p+1-c(p)

N(2)=(p+1)^2-c(p)^2

N(3)=p^3+1+3pc(p)-c(p)^3

N(4)=(p^2-1)^2+4pc(p)^2-c(p)^4

N(5)=p^5+1-5p^2c(p)+5pc(p)^3-c(p)^5

N(6)=(p^3+1)^2-9p^2c(p)^2+6pc(p)^4-c(p)^6

N(7)=p^7+1+7p^3c(p)-14p^2c(p)^3+7pc(p)^5-c(p)^7

N(8)=(p^4-1)^2+16p^3c(p)^2-20p^2c(p)^4+8pc(p)^6-c(p)^8

N(9)=p^9+1-9p^4c(p)+30p^3c(p)^3-27p^2c(p)^5+9pc(p)^7-c(p)^9

N(10)=(p^5+1)^2-25p^4c(p)^2+50p^3c(p)^4-35p^2c(p)^6+10pc(p)^8-c(p)^10

　この数値は小生が数式処理ソフトを用いずに手計算で求めたものであり，信頼率は50%以下と思われました．そこで畏友・阪本ひろむ氏にお願いしてMathematicaで確認してあります．

　とくに，ｐ＝２（ｍｏｄ３）のときはc(p)=0ですから，

　　Z(T)＝(1+pT^2)/(1-T)(1-pT)

N(1)=p+1

N(2)=(p+1)^2

N(3)=p^3+1

N(4)=(p^2-1)^2

N(5)=p^5+1

N(6)=(p^3+1)^2

N(7)=p^7+1

N(8)=(p^4-1)^2

N(9)=p^9+1

N(10)=(p^5+1)^2

で与えられます．

　なお，ｍ＝１，２のときの合同ゼータ関数

　　Z(T)＝1/(1-T)(1-pT)

がオイラー積

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

に似ているのに対して，

　　Z(T)＝(1-c(p)T+pT^2)/(1-T)(1-pT)

は，楕円曲線の場合のＬ関数

　　Ｎp＝ｐ＋１＋（誤差項）＝ｐ＋１＋Ｍp

　　c(p)＝−Ｍp

　　L(s)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)

によく似ていることがわかります．

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