（その４）では，ｎ^2＋１型素数に対する素数定理を紹介しました．その続きです．

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【１】双子素数

　その差が２であるような素数のペア（ｐ，ｐ＋２）を双子素数と呼びます．小さな双子素数には（３，５），（５，７），（１１，１３），（１７，１９），・・・など，ちょっと大きなものでは（２２２７１，２２２７３），・・・などがあります．

　双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていません．双子素数の場合に難しいのは素数全体のときと異なって，双子素数の逆数の和

　　１／３＋１／５＋１／５＋１／７＋１／１１＋１／１３＋１／１７＋１／１９＋・・・＋１／ｐ＋１／（ｐ＋２）＋・・・

が無限大とはならずに，その和が１．９０１９５・・・（ブルンの定数：１９１９年）となることが証明されている点です．

　このことは，双子素数が無限にあるとしても，まれにしか存在しないことを示しています．そのため，双子素数が無限に存在することの有力な証拠は見つかっているにもかかわらず，完全な証明には至っていないのです．

　数ｎが素数である確率は

　　１／ｌｏｇｎ

したがって，ｎとｎ＋２が双子素数である確率は

　　１／ｌｏｇｎ・１／ｌｏｇ（ｎ＋２）〜１／（ｌｏｇｎ）^2

　双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，

　　πtwin（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ）^2〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

ただし，ｐを３以上の素数として

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

と予想されています．ここで，Ｃはオイラー積のアナログであり，双子素数の場合のゼータ関数とみなすことができます．定まった用語ではないのですが，ハーディ・リトルウッド積と呼んでいいでしょう．この法則は経験的には正しそうであり，双子素数はたぶん無限組あると信じられています．

　現在のところ，双子素数予想にもっとも接近した結果は，１９６６年，陳景潤によるもので，陳景潤は素数と概素数（素因数を２つしかもたない合成数）のペアは無限に存在することを証明しました．これは無限に多くの双子素数が存在することに大変接近した結果であって，双子素数予想の証明に向かって最初の大きな一歩と考えられます．もう一歩進んで「概」を取り去ることに成功した者が，素数理論の大快挙を成し遂げたことになるのです．

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【２】１０を原始根とする素数

　ａは−１でも平方数でもないものとします．ａが素数ｐに対する原始根とは，ａ^1−１，ａ^2−１，・・・，ａ^p-2−１のどれもｐで割り切れなくて，ａ^p-1−１がｐで割り切れるものを指します．

　たとえば，ａ＝１０はｐ＝３の原始根ではなくて，ｐ＝７の原始根です．あるいは同じことですが，

　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２７５８の長さ６）

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　ここでふたたび，オイラー積のアナログ：アルティン積が出現しました．もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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【３】アルティンの原始根予想

　　πa（ｘ）／π（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

すなわち，ａを原始根にもつ素数は無限個存在するという予想は，一般化されたリーマン予想を仮定すれば成立することがわかっています．また，アルティンの原始根予想の関数体版はすでに証明されています．

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