■ピタゴラス三角形とアイゼンシュタイン三角形(その6)

 4平方和定理というと通常,ラグランジュの定理「n=□+□+□+□」を指しますが,今回のコラムでは,ルジャンドルの定理「正整数nが3つの平方数の和として表せる←→4^m(8k+7)の形をした数ではない.」から導かれる結果を取り上げてみました.

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【1】ルジャンドルの4平方和定理

 任意の整数nは,n個平方和

  n=1^2+1^2+・・・+1^2

に書けますから,これをなるべく少ない数の平方和でnを表そうと思うのは自然な成り行きです.

 「すべての正の整数は高々4個の整数の平方和で表される」というのが,「ラグランジュの定理」です.驚くべきことに,7のみならず,任意の自然数がたった4つの平方数の和の形に表せるのです.

  7=2^2+1^2+1^2+1^2

  2=1^2+1^2+0^2+0^2

このことを,シンボリックに書くと

  n=□+□+□+□

となります.□は平方数の意味です.

 ラグランジュの4平方和定理では0も含めて考えていますが,「正」という条件を付けてみることにすると,

 「4つの正の平方数の和として表されない正の整数をすべてあげると

1,3,5,9,11,17,29,41,2×4^m,6×4^m,14×4^m」

が得られます(ルジャンドルの4平方和定理).

 ルジャンドルの3平方和定理は,どのような数が4つの正の平方数の和として表されるか否かを決定するというわけです.

(証明)8k+3の形をした数は3つの奇数の平方の和として表せることは(その5)で述べたとおりですが,

  8k+3の形の数から4^2を引くと → 8k+3の形の数

となることからも,3つの平方数の和として表すことができることがわかります.

 同様に

  8k+6の形の数から4^2を引くと → 8k+6の形の数

ことから,8k+3と8k+6の形をした数は,2つの平方数の和としては表すことができない→3つの平方数の和として表されなければなりません.また,その数の4倍を考えれば32k+12と32k+24も3つの平方数の和として表されます.

  8k+2の形の数から2^2を引くと → 8k+6の形の数

  8k+3の形の数から4^2を引くと → 8k+3の形の数

  8k+4の形の数から1^2を引くと → 8k+3の形の数

  8k+6の形の数から4^2を引くと → 8k+6の形の数

  8k+7の形の数から2^2を引くと → 8k+3の形の数

  8k+1の形の数から1^2,3^2,5^5,7^2を引くと → 32k+24の形の数

  8k+5の形の数から1^2,3^2,5^5,7^2を引くと → 32k+12の形の数

 したがって,49よりも大きく8の倍数でない任意の整数は4つの正の平方数の和として表されることがわかります.49までの8の倍数でない数について1,2,3,5,6,9,11,14,17,29,41が4つの正の平方数の和として表されないことを確認します.

  1=1^2           11=3^2+1^2+1^2

  2=1^2+1^2        14=3^2+2^2+1^2

  3=1^2+1^2+1^2     17=3^2+2^2+2^2

  5=2^2+1^2        29=4^2+3^2+2^2

  6=2^2+1^2+1^2     41=6^2+2^2+1^2

  9=2^2+2^2+1^2

 あとは,8kの形をした数が4つの正の平方数の和として表される場合について考察します.4つの平方数のうち奇数が0個(または1個または2個または3個または4個)ならば,和は4k(または4k+1または4k+2または4k+3または8k+4)の形をしています.たとえば,

  (2p+1)^2+(2q+1)^2+(2r+1)^2+(2s+1)^2

 =4p(p+1)+4q(q+1)+4r(r+1)+4s(s+1)

 =8k+4

 したがって,8kの形をした数が4つの平方数の和として表されるならば,その4つの正の平方数はすべて偶数でなければなりませんから,2kが4つの正の平方数の和として表されるときに限られます.

  (2p)^2+(2q)^2+(2r)^2+(2s)^2=8k

  p^2+q^2+r^2+s^2=2k

ここで,2kが8の倍数であればさらに4で割って,2kは8の倍数でないとすることができますから,前述の場合に帰着されます.

 すなわち,8の倍数でない2k(偶数)が4つの正の平方数の和として表されないのは

  2k=2,6,14

したがって,2,6,14といった整数の4倍

  8k=2×4^m,6×4^m,14×4^m

は4つの正の平方数の和として書けないことがわかります.

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