【１】自然数ｍがｘ^2＋ｙ^2の形に表されるための必要十分条件は，

　　ｍ＝ｐ^aｑ^bｒ^c・・・

と素因数分解するとき，

　　「４ｎ＋１の形の素数」

　　「４ｎ＋３の形の素数の２乗」

　　「２」

をいくつかかけあわせてできることである．

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【２】自然数ｍがｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に表されるための必要十分条件は，

　　ｍ＝ｐ^aｑ^bｒ^c・・・

が

　　「４^n（８ｋ＋７）の形の数でない」

ことである．

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【３】４平方和定理（オイラー・ラグランジュの定理）

　　「任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．」

　どんな自然数ｍもｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2の形に表されるというわけです．たとえば，４^n（８ｋ＋７）の形のためｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に書けない数もｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2の形に表されます．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

　　２３＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

　　２８＝４^2＋２^2＋２^2＋２^2

　　３１＝３^2＋３^2＋３^2＋２^2

　　６０＝７^2＋３^2＋１^2＋１^2

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【４】シンツェル仮説（シンツェル予想）

　シンツェル仮説とは，以下の問題を含み，それらをまとめて拡張した予想です．

［１］双子素数（ｎ，ｎ＋２）は無限個存在する

［２］ｎ^2＋１型素数は無限個存在する

［３］ａｎ＋ｂ型素数は無限個存在する（算術級数の素数定理，ディリクレ，１８３７年）

［４１三つ子素数（ｎ，ｎ＋２，ｎ＋６）は無限個存在する

［５］ｎ^2＋４型素数は無限個存在する

［６］２^n−１型素数，２^n＋１型素数は無限個存在する

［７］４以上のどんな偶数も必ず２個の素数の和として表される（ボールドバッハ予想）

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