【１】２平方和定理（フェルマー・オイラーの定理）

　　「４ｎ＋１の形の素数は２個の平方数の和で表される．」

　　「４ｎ＋３の形の素数は２個の平方数の和では表されない．」

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

　このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

　しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｐ^2＋ｑ^2

ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ

［補］「４ｎ＋３の形の素数は２個の平方数の和では表されない．」

　　偶数^2＝４ｋ^2

　　奇数^2＝（２ｋ＋１）^2＝４ｋ（ｋ＋１）＋１

　　ｘ^2＋ｙ^2＝０または１　　（ｍｏｄ４）

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【２】３平方和定理

　４ｎ＋３の形の素数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の素数は３個の平方数の和では表されない．」

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【３】４平方和定理（オイラー・ラグランジュの定理）

　　「任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．」

　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破しました．その証明中で用いられる基本公式が（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2で，１７４８年にオイラーによって証明されています．

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