［１］ガウスの整数

　ａ，ｂを整数として

　　ａ＋ｂｉ

で表される複素数が「ガウスの整数」です．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」．

　また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，１の４乗根である

　　±１，±ｉ

の４個の単数があります．ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします．

　素数は複素数体でも定義されますが，ガウス素数とはそのノルムが通常の素数であるようなガウス整数のことです．数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．

　４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2

　　５＝（１＋２ｉ）（１−２ｉ）

　　２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）

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［２］アイゼンスタインの整数

　アイゼンスタインの整数は

　　ａ＋ｂω

と書くことができます．ここで，ωは１の虚立方根

　　ω＝（−１＋√−３）／２

で，ｘ^2＋ｘ＋１＝０の根です．それに対して，ガウス整数にはｘ^2＋１＝０が対応しています．

　アイゼンスタインの整数には，６つの単数

　　±１，±ω，±ω^2

があり，正六角形の対称性をもつ三角格子をなします．

　ここにもやはり素因数分解の一意性が成立します．２および６ｋ＋５型素数はアイゼンスタイン素数ですが，３および６ｋ＋１型素数はアイゼンスタイン素数の積に分解されます．

　　３＝（１−ω）（１−ω^2）＝（１＋ω）（１−ω）^2＝（１−ω）（２＋ω）

　　３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）＝（４−３ω）（７＋３ω）

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［３］ベイカー・スタークの定理

　ガウスの数体Ｑ（ｉ），アイゼンスタインの数体Ｑ（ω）の場合を考えましたが，それに対して，Ｑ（√−５）では

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

のように，素数の積に２通りに表されるような状況を生じてしまうのです．（２，３は素数であるし，１＋√−５，１−√−５はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」である．）

　それでは，どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのでしょうか？

　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです．このコラムをご覧の読者であれば，最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．

　現在，９個の数はヘーグナー数と呼ばれています．ずいぶん以前からこの９個の数は知られていたのですが，１０番目の数が存在するかもしれない・・・というまどろっこしい状態が続いていました．その経緯について触れておきたいのですが，１９３２年，ハイルブロンとリンフットが１０番目のｄがあるとすれば，それは１０^11よりも大きくなることを示しました．また，１９５２年，ヘーグナーが９個ですべてだという証明を発表しましたが，彼は高校の教師であり研究者として部外者であったため，この証明は懐疑的というよりは間違ったものと受け取られていたようです．

　そして，１９６６年，アメリカのスタークとイギリスのベイカーが独立に世界中を納得させる証明を与えました．それは不正確であるとして無視されたヘーグナーの証明の誤りを払拭するものでもありましたが，残念ながら，ヘーグナーは１９６５年に亡くなっており，自らの名誉回復をその目で見ることはできませんでした．また，１９６８年，ドイリングはヘーグナーの証明を修正することに成功しましたが，既にそのときはベイカー，スタークに先を越されていて遅きに失した状況にありました．

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［４］クラインの整数

　ベイカー・スタークの定理により，ガウス整数とアイゼンスタイン整数は一意分解性をもつことがわかりますが，それに続いて最も簡単な整数環は

　　λ＝（−１＋√−７）／２

　　ａ＋ｂλ

です．

　クライン整数は２つの単数±１のみをもち，菱形格子をなします．クライン環の特徴は，２が素因数分解されることです．

　　２＝（−１＋√−７）／２・（−１−√−７）／２

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