（その２７）〜（その３０）は

［Ｑ］正ｎ角形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．ｎ匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正ｎ角形になり，元の正ｎ角形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡は？

の答えが，

［Ａ］等角らせん：　ｒ＝ａｅｘｐ（−ｂθ）

であることを知っていたとしても，簡単には答えを導き出せないことを示すために掲げた記事である．

　対数らせんは，

　　ｒ＝ａ^θ，ｄｒ／ｄθ＝ａ^θｌｏｇａ

であるから，

　　ｄｒ／ｄθ｜θ=0＝ｌｏｇａ　　（定数）

すなわち，中心角θが一致の角度進む毎に中心からの距離ｒの値が一定倍になるのであれば，おおよそ対数らせんとなる渦巻きを描くのである．

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　この問題が解決に向けて動きだしたのは，一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．同じく，四角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は，もとの四角形の面積の

　　Ｍ＝２ｋ^2−２ｋ＋１＝２（ｋ−１／２）^2＋１／２

倍になることに気づいたときからであった．

　１辺の長さが１の正ｎ角形を考える．その面積は

　　Ｓ＝ｎ／４・ｃｏｔ（π／ｎ）

また，隣接する２辺とその弦からなる三角形の面積は

　　Ｓ0＝１／２・ｓｉｎ（２π／ｎ）＝ｓｉｎ（π／ｎ）ｃｏｓ（π／ｎ）

　　ｍ＝Ｓ0／Ｓ＝４／ｎ・（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

　　ｍｎ＝４・（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

長くなるので計算を割愛するが，（→詳細は（その１９）を参照されたい）

　　ｄｒ／ｄθ｜k=1＝√（ｍｎ／（４−ｍｎ））＝ｔａｎ（π／ｎ）　　（定数）であることから，追跡曲線の軌跡が対数らせんとなることがわかる．

　したがって，対数らせんの方程式をｒ＝ａ^θとした場合，

　　ａ＝ｅｘｐ（ｔａｎ（π／ｎ））

ｒ＝ａｅｘｐｂθとした場合は，

　　ｂ＝√（ｍｎ／（４−ｍｎ））＝ｔａｎ（π／ｎ）

で与えられる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　また，等角らせんは動径をいつも一定の角度で横切るという特徴がある．

　　ｒ＝ａｅｘｐｂθ

とした場合，動径ベクトルと速度ベクトルのなす角は

　　ｃｏｓφ＝ｂ／（ｂ^2＋１）^1/2

であるから，φはθによらず一定である．

　　ｃｏｓφ＝ｂ／（ｂ^2＋１）^1/2

　　（ｃｏｓφ）^2＝ｂ^2／（ｂ^2＋１）

　　ｂ＝ｃｏｔφ　→　φ＝π／２−π／ｎ

になる．

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　次に，追跡曲線の弧長Ｌであるが，

　Ｌ＝∫(0,∞)（ｒ^2＋（ｄｒ／ｄθ）^2）^1/2ｄθ

　　＝∫(0,∞)ａｅｘｐ（−ｂθ）（１＋ｂ^2）^1/2ｄθ

　　＝［−ａｅｘｐ（−ｂθ）／ｂ・（１＋ｂ^2）^1/2］

　　＝ａ／ｂ・（１＋ｂ^2）^1/2

と計算される．

　　ｒ＝ａｅｘｐ（−ｂθ）

において，

　　ｂ＝ｔａｎ（π／ｎ）

また，正ｎ角形の１辺の長さを１，外接円の半径をＲとすると

　　Ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

であるが，ａ＝Ｒである．これを代入すると

　　Ｌ＝１／２（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

と求まる．

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　「等角らせんを直線に沿って転がすと，等角らせんの原点は直線を描くが弧長は，原点を頂点とする直角三角形の斜辺の長さに等しい．」という性質があるが，この性質を使って，追跡曲線の長さＬを計算してみると，

　正ｎ角形の１辺の長さを１，外接円の半径をＲとする．

　　Ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｌ／Ｒ＝１／ｃｏｓ（π／２−π／ｎ）＝１／ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｌ＝Ｒ／ｓｉｎ（π／ｎ）＝１／２（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

と計算される．これは前述した結果と一致している．

　すなわち，追跡曲線の長さＬが辺の長さ１に等しくなるのは，ｎ＝４のときだけである．これは正方形の中心角が９０°だからであって，正三角形ではＬ＜１，正五角形ではＬ＞１であることが理解される．

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