前回のコラムでは円の最大分割問題を取り上げたのですが，今回は長方形を最も少ない数の正方形で分割するという問題について考えてみることにします．この問題は私にとって未解決問題となっているもののひとつであって，読者諸賢のお知恵を拝借したいと存じます．

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【１】デーンの定理（１９０３年）

　「縦がａ，横がｂの長方形Ｋを縦横比が有理数であるような有限個の長方形に分割することができるならばａ，ｂの比は有理数であることが必要十分条件である．」

　分割された小長方形は，縦横比が有理数という条件が付いているだけで，それぞれの長さは無理数でもかなわないのですが，分割の際，小長方形の配置は多様にありうるわけですから，この定理はまったく自明な定理とはいえません．

　　［参］砂田利一「分割の幾何学」日本評論社

によると，１９４０年になってからブルックス，スミス，ストーン，テュッテはデーンの定理を電気回路とみなしてキルヒホッフの法則とオームの法則に帰着させて鮮やかに証明したとあり，この問題について詳しく述べてあるので参照してほしいと思います．そこでは，有理数値の重みをもつポアソン方程式Δｆ＝ｇの解ｆについて考察していて，グラフ上のラプラシアンに関するスペクトル幾何学の離散近似問題に焼き直してあります．→［補］

　特に，Ｋを有限個の正方形に分割できればａ，ｂの比は有理数であることが必要十分条件となります．デーンの定理により，縦横比が有理数であるような長方形は正方形分割されるのですが，その方法は１通りではありません．

　縦横比がａ／ｂであるとき，縦をａ等分，横をｂ等分してａｂ個の正方形で分割する方法では正方形領域は最小個数にはならないし，あまりに芸がありません．それに対して，ユークリッドの互除法に基づく連分数の理論は，もっと経済的な分割の方法です．

　ユークリッドの互除法に基づくアルゴリズムは，縦がａ，横がｂの長方形の分割では左から正方形を最大個数詰め，次に残りの長方形において下から正方形を最大個数詰め，・・・，最後の残った長方形において左から正方形を最大個数詰めると，正方形分割が得られることを示しています．

　ａ＜ｂとして，このことを数式で表すと，

　　ｂ＝ｑ0ａ＋ｒ1

　　ａ＝ｑ1ｒ1＋ｒ2

　　ｒ1＝ｑ2ｒ2＋ｒ3

　　ｒ2＝ｑ3ｒ3＋ｒ4

　　・・・・・・・・

　　ｒl-1＝ｑlｒl

上のようにしてｒl+1回目に得られるｒlはａ，ｂの最大公約数であり，長方形はｑ0＋ｑ1＋・・・＋ｑl個の正方形で埋めつくされることになります．

　たとえば，縦が５横が７の長方形において，左から１辺の長さが５の正方形を１つ詰め，下から１辺の長さ２の正方形を２つ詰め，最後に残った長方形において左から対して１辺の長さ２の正方形を２つ詰めると，正方形分割が得られます．これを連分数表示すると

　　７／５＝［１：２，２］→正方形領域数５

　同様に

　　１１／７＝［１：１，１，３］→正方形領域数６

となりますが，縦横比が無理数の場合はこの連分数展開は無限に続きますから，有限分割することができないことがわかります．

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］→正方形領域数∞

　　√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　　√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］

　　√７＝［２；１，１，１，４，１，１，１，４，・・・］

　縦横比が黄金比，すなわち１：（√５＋１）／２＝１：１．６１８の長方形を黄金長方形とよびます．黄金長方形から正方形を取り去ると再び小さい黄金長方形が残ります．同様にしてこの手続きは無限に続行できます．したがって，黄金比はユークリッドの互除法によって「１」だけを使って連分数に展開できる無理数であり，すなわち，

　　φ＝（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

その意味では最もゆっくり収束する無理数であり，最もシンプルなフラクタル生成装置ともいえます．このことから，たとえば，

　　５５／３４＝［１：１，１，１，１，１，１，２］→正方形領域数９

は黄金比のよい近似になっていることが理解されます．

　ところが，縦が６１，横が６９の長方形の正方形分割をユークリッドの互除法に基づいて行うと

　　６９／６１＝［１：７，１，１，３］→正方形領域数１３

となるのですが，これは最小正方形分割ではなく，１辺の長さが

　　２５，３６，１６，９，７，２，５，３３，２８

の９個の正方形を使って分割できることが知られています．

　　２５，３６，１６，９，７，２，５，３３，２８

は正方形による有限分割をその左辺がより左にあるもの，左辺が同じ位置のものについては上辺がより上にあるものから順に示してあります．

　このように長方形の最小正方形分割に対するユークリッドの互除法のアルゴリズムは破綻するのですが，それでは

　　２５，３６，１６，９，７，２，５，３３，２８

はどのようにして得られたものなのでしょうか？　また，最小正方形分割のアルゴリズムは存在するのでしょうか？　次節では分割アルゴリズムの破綻例をもうひとつ掲げておきたいと思います．

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【２】数の平方数分割

　任意の整数ｎは，ｎ個の平方和

　　ｎ＝１^2＋１^2＋・・・＋１^2

に書けますから，これをなるべく少ない数の平方和でｎを表そうと思うのは自然な成り行きです．そこでまず，簡単な数値実験から始めることにしましょう．１から１０までの整数をいくつかの平方数の和の形式で表現するというものです．

　整数の平方

　　０，１，４，９，１６，２５，・・・

は非常にまばらにしか存在しませんが，２つの平方数の和の形で表される整数はより頻繁に現れます．１，２，４，５，８，９，１０，・・・

　　１＝１^2＋０^2

　　２＝１^2＋１^2

　　４＝２^2＋０^2

　　５＝２^2＋１^2

　　８＝２^2＋２^2

　　９＝３^2＋０^2

　１０＝３^2＋１^2

　ここで，３，６，７といった整数は，２つの平方の和では書けないことがわかります．しかし，３つの平方和となると幾分間隙を埋めてくれます．

　　３＝１^2＋１^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2

　それでも，なおすべての正の整数を得ることはできません．最後まで残った７に対しては３つの平方数の和で書けず，４つの平方数が必要となります．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．

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［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

　このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

　しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

　それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？　２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．

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［２］ガウス・ルジャンドルの定理（３平方和定理）

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」

　逆にいうと，ｎ≠４^k（８ｎ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論として，この結果を得ています．　

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［３］ラグランジュの定理（４平方和定理）

　前述の数値実験から「すべての正の整数は，ｇ個の平方数の和として表すことができるだろうか？　さらに，ｇの最小値はいくつであろうか？」というより高度な問題が派生しますが，「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．

　驚くべきことに，７のみならず，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破したのですが，その証明中で用いられる基本公式が

　　ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

　　ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

　　ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

　　ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

が成り立つというもので，１７４８年にオイラーによって証明されています．

　この基本公式はハミルトンの４元数（１８４３年）を使ったうまい方法でも証明されますが，それにしても，オイラーはどのようにして発見したのでしょう？　なお，四元数は複素数に似ていますが，ただ１つではなく３つの虚数をもつ数体系で，ｉ^2＝−１，ｊ^2＝−１，ｋ^2＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊなる性質をもち，

（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

となります．

　上に掲げた基本公式は，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていること，すなわち，ｎ1が４つの平方数の和ならば，ｎ1ｎ2もそうであることを示しています．これにより，ラグランジュの定理を証明するには，すべての素数ｐが４つの平方数の和であるということの証明に帰着されることになります．また，

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

ですから，ｐは素数と仮定してもよいわけです．

　すべての奇素数ｐが４つの平方数の和であることの証明も，背理法の１種である無限降下法によって証明できるのですが，これについては

　　J.S.Chahal著，織田進訳「数論入門講義」共立出版

にわかりやすい解説がありましたので，それに譲ることにします．

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［４］アルゴリズムの破綻

　［１］［２］［３］はそれぞれ２元，３元，４元の２次形式の問題なので，ｎ次元空間における格子点の配置の問題として幾何学的に考えることができます．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．

　上の数値実験では，実際に４個必要なのは７だけで，他はすべて３個以下の平方数の和で書けていました．どの場合に２つで済むのか，３つで済むのか？という問題は，ラグランジュの定理に先行するフェルマー・オイラーの定理，オイラー・ルジャンドルの定理で解決されています．

　また，ｎを越えない最大の平方数は，ガウス記号を用いて［√ｎ］^2と表せるのですが，ｎを越えない最大の平方数をとり，その残りに対して同様に最大の平方数をとる，・・・，そして残りが平方数になるとおしまいというアルゴリズムによって，４個の平方数の和

　　ｎ＝ｎ1^2＋ｎ2^2＋ｎ3^2＋ｎ4^2

に分解できるように思われます．はたして，これは正しいのでしょうか？　数値実験を続けてみることにします．

　　１１＝３^2＋１^2＋１^2

　　１２＝３^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　１３＝３^2＋２^2

　　１４＝３^2＋２^2＋１^2

　　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

　　１６＝４^2

　　１７＝４^2＋１^2

　　１８＝４^2＋１^2＋１^2

　　１９＝４^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２０＝４^2＋２^2

　　２１＝４^2＋２^2＋１^2

　　２２＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2

　　２３＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　素数２３では５個の平方和となり，このアルゴリズムは２３で破綻してしまいます．もちろん，２３は８ｎ＋７型の素数ですから，３個の平方和では表すことはできませんが，

　　２３＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

のように４個の平方和の形に表すことができます．

　また，

　　１２＝３^2＋１^2＋１^2＋１^2＝２^2＋２^2＋２^2

　　１８＝４^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2

　　１９＝４^2＋１^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2＋１^2

　　２３＝４^2＋２^2＋１^2＋１^2＋１^2＝３^2＋３^2＋２^2＋１^2

のように，より少ない数の平方和として幾通りかに表すことのできる数もあります．

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，４個の平方数による分割

　　ｎ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

の解の個数をＲ（ｎ）で表せば，１８２９年，ヤコビは

　　Ｒ（ｎ）＝　８Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ≡１（mod 2）

　　Ｒ（ｎ）＝２４Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ≡０（mod 2）

　　　Σは（２ｄ＋１）｜ｎをわたる

を示しました．

　この出発点となった考え方は，

　　{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n

　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．→コラム「もうひとつの五角数定理」，「分割数の漸近挙動」

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［５］ウェアリングの問題とヒルベルトの定理

　１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，

　　「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」

ことを証明抜きで主張しました（９三乗数定理，１９四乗数定理）．これが，有名なウェアリングの問題です．

　ｇ（２）＝４はラグランジュにより，ｇ（３）＝９はヴィーフェリッヒによって証明されました（１９０９年）．

　４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とするのに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

そして，１９３９年，ディクソンは２３，２３９以外の整数はすべて８個の３乗数の和で書けることを示しています．

　ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって

　　「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」

ことが肯定的に証明されています．

　　ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k

　１９四乗数定理：

　　「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」

は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題（１８世紀）も２００年以上かかって解決されたことになります．

　なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きますが，この最良値を完全に決めることはまだできていません．高次形式の理論はまだ発展途上なのです．

［補］現在，ｋ≧６でのｇ（ｋ）の値はほぼ決まっている．

　　ｇ（６）＝７３，ｇ（７）＝１４３，ｇ（８）＝２７９，

　　ｇ（９）＝５４８，ｇ（１０）＝１０７９，・・・

したがって，３７五乗数定理だけが残されたことになる．

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【３】おまけ

　ここでは，サイズが１×２のブロックを使ってｐ×ｑの領域を覆いつくす問題を考えます．もちろんｐ，ｑの少なくとも一方は偶数でなければなりませんが，このとき，ｐ×ｑの領域を１×２のブロックを使って覆いつくせることは明らかです．

　この問題はサイズが１×ｍのブロックを使う場合に一般化することができます．ｐ×ｑはｍで割り切れるものとします．ｍ＝２のときよりも難しくなるのですが，６×６の領域を１×４のブロックでは覆いつくすことはできません．

　また，１×２のブロックを使って覆う場合，覆い方によっては１本の線でｐ×ｑの領域を縦断または横断する線分（分断線）ができてしまいますが，分断線ができないように埋めつくしていきます．ｐ，ｑ≧５とすると，（ｐ，ｑ）＝（６，６）の場合を除き，分断線ができないように埋めつくすことができることが証明されています．

　これらの６×６の不可能性は，オイラーの士官３６人の問題（６次のグレコ・ラテン方陣）に通ずるのかもしれません．「やってみてできなかった」という体験は組織的に完全に実行すれば立派な証明になるのですが，オイラーの士官３６人の問題は実際にそういう証明しかない数学の問題となっています．→コラム「群と魔方陣」

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　デーンの定理では縦横比が有理数となっていましたが，αが無理数のとき，その小数部分には，０，１，・・・，９が１／１０の頻度で現れることが見いだされています．このことの応用として「１ではじまる数が多いのはなぜか」という興味深い応用例を紹介します．

　２のベキ乗２^nを順に並べてそれぞれの最大桁の数を取り出すと

　　２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，１０２４，２０４８，・・・

　　→２，４，８，１，３，６９，１，２，５，１，２，・・・

となっているのですが，最大桁がｋ（１≦ｋ≦９）である確率はｎ→∞のとき，

　　ｌｏｇ10（（ｋ＋１）／ｋ）

に収束することが知られています．

　したがって，最大桁の頻度は１が一番高く

　　１→ｌｏｇ10２＝０．３０１０，

以下，

　　２→ｌｏｇ10３／２＝０．１７６１，

　　３→ｌｏｇ10４／３，

　　・・・・・・・・・，

　　９→ｌｏｇ10１０／９

の順になるというわけです．

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【補】太鼓の形を聴きとれるか？　（等スペクトル問題）

　太鼓の形を与えて太鼓の音を求める問題を順問題と呼びますが，これに対して，「太鼓の音を聞いて太鼓の形を推定する」問題は，逆問題の一例としてよく取り上げられるものです．実際，１次元（弦）ならば，その音を聞いて弦の形，すなわち，弦の長さを推定することができます．もっとも材質が違えば音色は異なるわけですが，この場合は音色ではなく，音の周波数（スペクトル）だけを問題とすることにします．それならば２次元（外周が固定された膜）ではどうでしょうか？

　　Δｆ＝λｆ

の固有値

　　λ1≦λ2≦λ3≦・・・

が固有振動数を与え，対応する固有関数

　　φ1，φ2，φ3，・・・

がそれぞれの固有振動数で振動する膜の変位の様子を与えてくれます．

　ワイルの定理とは，いわば「太鼓の音を聴けばその面積がわかる」というものですが，ここでは，歴史背景に思いを馳せてみましょう．１９１０年代，ワイルは太鼓の音からその面積を推定することが可能であることを証明しました（ワイルの法則）．

　また，１９３０年代には音から周の長さも決定できることが示されました．

　　Ｎd（λ）　〜　ｃdＶdλ^(d/2)−ｃd-1／４Ａd-1/4λ^((d-1)/2)

ここで，Ａd-1はｄ次元多様体Ｖdの表面積を表します．

　面積や周長だけから正確に定義できる図形は円だけなので，円形の太鼓ならば音からその大きさを決定できることが解ったわけですが，しかし，面積も周長も等しいが形の異なる太鼓が，同じ音をもっているなどということがあり得るだろうか？という一般的な疑問には答えることができませんでした．

　１９６０年代になると，カッツは「ドラムの形は聴き分けられるか？」

　　M. Kac, Can one hear the shape of a drum?, Amer. Math. Monthly, 73(1966),1-23

という論文を発表しました．カッツの問題とは，漸近挙動

　　Ｎd（λ）　〜　ｃdＶdλ^(d/2)

をもっと詳しく調べれば，太鼓の形についての幾何学的情報がすべて得られないだろうか？という問いかけです．カッツが提出した等スペクトル問題は，数学論文としてはめずらしく魅力的なタイトルがものをいって，大きな注目を集めこの問題を解こうという研究を大きく促すきっかけとなりました．等スペクトル問題は逆問題の特殊な例になっていて，この論文のタイトルが逆問題の有名な標語（スローガン）になったというわけです．

　カッツの論文により「太鼓の音から，その面積，周の長さ，穴の数が聴きとれる」ことが示されたのですが，これらの成果にもかかわらず，境界の形が円であるのか楕円であるのか，四角形か多角形かなのか，面の正確な形が推測できるかというさらに一般的な疑問には答えられませんでした．これが，マッキーンやシンガーなどの人々を触発し，その後の研究が展開する契機となりました．

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　数学者は１次元・２次元・３次元という一般的な空間だけにとらわれません．無限次元さえ考えるのですが，１９６４年，ミルナーは幾何学的には異なるけれども同じ音を出す１６次元のドラムのペアを発見しました．また，別の数学者は異なる次元で等スペクトル多様体（等しい固有値をもち，リーマン多様体として異なる多様体）の例を発見しました．

　多様体がコンパクトのとき，ラプラシアン（楕円型偏微分作用素）

　　Δ＝ｄ^2／ｄｘ1^2＋・・・＋ｄ^2／ｄｘn^2

のスペクトルは固有値のみからなり，多様体の幾何学的性質（曲率，体積，直径，閉測地線など）と固有値の分布状態は密接に関係することが明らかにされてきたのですが，カッツの提出した「音で太鼓の形が聞き分けられるか？」という有名な問題については，ミルナーなどによる否定的な研究がありました．それらの研究では空間型の特殊性を利用し，後述するヤコビの恒等式やセルバーグの跡公式のような精密な恒等式が重要な役割を果たしています．

　それを受けて，１９８４年，砂田利一は等スペクトル多様体をほとんど思うがままに作り出す画期的な方法を発見し，これによって低次元の実例を作り出すことが可能になりました．そして，カッツの反例となる等スペクトル多様体が構成できることを示したのです．

　　T.Sunada, Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. Math., 121(1985), 248-277

　砂田の方法では，跡公式と呼ばれるアイディアが使われているのですが，跡公式とは，有限次行列Ａにおいて対角和＝固有値の和，すなわち

　　ｔｒＡ＝Σλ

の左辺が解析的，右辺が幾何学的に得られたものであるように，ある作用素の跡を２通りの方法で計算することにより得られる等式であって，作用素とはいわば無限次行列のことと考えておくとよいと思われます．参考図書としては

　　砂田利一「基本群とラプラシアン」紀伊国屋書店

を掲げておきます．

　跡公式のひとつの原型が非コンパクト型対称空間（特に上半平面）とそれに作用する離散群に対して，１９５６年，セルバーグにより定式化されたものです．跡公式がその美しさを最も発揮するのが負の定曲率曲面の場合で，セルバーグが重点的に扱ったのもリーマン面上の調和解析としての跡公式でした．

　　　　Ｒ^2　　　　　　　　　　　　　　　Ｈ

　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　Δ＝ｄ^2/ｄx^2+ｄ^2/ｄy^2　　　Δ＝-1/y^2(ｄ^2/ｄx^2+ｄ^2/ｄy^2)

　　長方形とその面積　　　　　　　　基本領域とその面積

　　ポアソンの和公式　　　　　　　　セルバーグ跡公式

　　リーマンゼータ関数　　　　　　　セルバーグゼータ関数

　すなわち，上半平面Ｈでユークリッドラプラシアンに対応するものが双曲的ラプラシアンと呼ばれる作用素であり，Ｒ^2におけるリーマンゼータ関数に対応するものがセルバーグゼータ関数，ポアソンの和公式に対応するものがセルバーグの跡公式という対応になっていると考えられます．

　長い間，２次元の世界で等スペクトル多様体のペアを探しだすことはできませんでしたが，１９９１年には大きな進展がありました．ゴードンとその夫ウェッブは，ウォルポートからヒントを得て，面積と周長は等しいけれども形の違う，けれども同じ音をもつ２次元・３次元のペアを探し出すことに成功したのです．

　　C.Gordon,D.Webb and S.Wolport, Isospectral plane domains.and surfaces via Riemannian orbits, Invent. Math., 110(1192), 1-22

　また，現在知られている最も単純な２次元図形はチャップマンによる８つの角をもつ図形です．

　　S.J.Chapman, Drums that sound the same, Amer. Math. Monthly, 102(1995), 124-138

　　［参］浦川肇「ラプラス作用素とネットワーク」，裳華房

には，これらの図形が図入りで詳しく書かれています．とはいえ，新たな問題も浮かび上がっています．たとえば，もっと単純な構造をもつもの，あるいは，滑らかな境界をもつドラムのペアは存在するであろうか？　等々．スペクトル幾何学の研究はやっと始まったばかりで，まだ多くの問題が残されているのです．

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