等角らせんの縮閉線（各点での法線の包絡線）は再び等角らせんであることはよく知られている．それに較べ，「等角らせんを直線に沿って転がすと，等角らせんの原点は直線を描くが弧長は，原点を頂点とする直角三角形の斜辺の長さに等しい．」という性質はあまり知られていないようだ．この性質を使って，追跡曲線の長さＬを計算してみる．

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　正ｎ角形の１辺の長さを１，外接円の半径をＲとする．

　　Ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｌ／Ｒ＝１／ｃｏｓ（π／２−π／ｎ）＝１／ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｌ＝Ｒ／ｓｉｎ（π／ｎ）＝１／２（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

と計算される．

　追跡曲線の長さＬが辺の長さ１に等しくなるのは，ｎ＝４のときだけである．これは正方形の中心角が９０°だからであって，正三角形ではＬ＜１，正五角形ではＬ＞１であることが理解される．

　また，ｎが大きくなると辺長／頂点・中心間距離は相対的に小さくなるので，ますます辺長と食い違うことになる．これでもって，宿題の解答としたい．

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