対数らせんの方程式は

　　ｒ＝ａ^θ，ｄｒ／ｄθ＝ａ^θｌｏｇａ

になる．

　今回のコラムでは

［Ｑ］正三角形の３つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．３匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正三角形になり，元の正三角形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］対数らせん

の問題点を洗い出してみたい．

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【１】動機

　一般に与えられた三角形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝３ｋ^2−３ｋ＋１＝３（ｋ−１／２）^2＋１／４

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／４　　（４等分）

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝１／３　　（３等分）

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝７　　　　（７等分）

となる．

　ｋ＝２の場合，拡大三角形の１辺の長さは√７になる．ここで，余弦定理

　　１^2＝２^2＋（√７）^2−２・２・√７ｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝５／２√７

　θがａｒｃｃｏｓα進む毎にｒの値が√７倍になる→Ｂ＝√７の１／ａｒｃｃｏｓα乗

もし，ｒ＝ａｅｘｐｂθの形であれば

　　Ｂ＝ｅｘｐｂ＝√７の１／ａｒｃｃｏｓα乗

　　ｂ＝１／２ａｒｃｃｏｓαｌｏｇ７

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ｋ＝３の場合，拡大三角形の１辺の長さは√１９になる．ここで，余弦定理

　　２^2＝３^2＋（√１９）^2−２・３・√１９ｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝４／√１９

　θがａｒｃｃｏｓα進む毎にｒの値が√１９倍になる→Ｂ＝√１９の１／ａｒｃｃｏｓα乗

もし，ｒ＝ａｅｘｐｂθの形であれば

　　Ｂ＝ｅｘｐｂ＝√１９の１／ａｒｃｃｏｓα乗

　　ｂ＝１／２ａｒｃｃｏｓαｌｏｇ１９

となって，一意に定まらないからである．

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【２】計算結果

　一意に定まらないどころか，かなりの食い違いをみせる．

　ｋ　　　　　　　Ｂ

1.2 7.74621

1.4 10.0925

1.6 12.6727

1.8 15.4768

2 18.4977

2.2 21.7299

2.4 25.1694

2.6 28.8126

2.8 32.6568

3 36.6991

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