対数らせんの方程式は

　　ｒ＝ａ^θ，ｄｒ／ｄθ＝ａ^θｌｏｇａ

になる．

　今回のコラムでは

［Ｑ］正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］対数らせん

の問題点を洗い出してみたい．

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【１】動機

　一般に与えられた平行四辺形の各辺を同じ倍率ｋで伸縮した位置に点をとって作った四角形の面積は，もとの平行四辺形の面積の

　　Ｍ＝２ｋ^2−２ｋ＋１＝２（ｋ−１／２）^2＋１／２

倍になる．

　　ｋ＝１／３　→　Ｍ＝５／９

　　ｋ＝１／２　→　Ｍ＝１／２

　　ｋ＝２／３　→　Ｍ＝５／９

　　ｋ＝１　　　→　Ｍ＝１

　　ｋ＝３／２　→　Ｍ＝５／２

　　ｋ＝２　　　→　Ｍ＝５

となる．

　ｋ＝２の場合，拡大四角形の１辺の長さは√５になる．ここで，余弦定理

　　１^2＝２^2＋（√５）^2−２・２・√５ｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝２／√５

　θがａｒｃｃｏｓα進む毎にｒの値が√５倍になる→Ｂ＝√５の１／ａｒｃｃｏｓα乗

もし，ｒ＝ａｅｘｐｂθの形であれば

　　Ｂ＝ｅｘｐｂ＝√５の１／ａｒｃｃｏｓα乗

　　ｂ＝１／２ａｒｃｃｏｓαｌｏｇ５

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ｋ＝３の場合，拡大四角形の１辺の長さは√１３になる．ここで，余弦定理

　　２^2＝３^2＋（√１３）^2−２・３・√１３ｃｏｓα

　　ｃｏｓα＝３／√１３

　θがａｒｃｃｏｓα進む毎にｒの値が√１３倍になる→Ｂ＝√１３の１／ａｒｃｃｏｓα乗

もし，ｒ＝ａｅｘｐｂθの形であれば

　　Ｂ＝ｅｘｐｂ＝√１３の１／ａｒｃｃｏｓα乗

　　ｂ＝１／２ａｒｃｃｏｓαｌｏｇ１３

となって，一意に定まらないからである．

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【２】計算結果

　一意に定まらないどころか，かなりの食い違いをみせる．

　ｋ　　　　　　　Ｂ

1.2 3.27704

1.4 3.85748

1.6 4.45225

1.8 5.05786

2 5.67249

2.2 6.29512

2.4 6.92513

2.6 7.56211

2.8 8.20575

3 8.85577

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