［Ｑ］3√２＝２^1/3は無理数であるか？

［Ａ］　3√２＝ｐ／ｑ　　　（ｐ，ｑは公約数をもたない）

と書けるとすると，

　　ｐ^3＝２ｑ^3　→　ｐは偶数でなければならない

ｐ＝２ｋと書けるとすると，

　　８ｋ^3＝２ｑ^3　→　４ｋ^3＝ｑ^3　→　ｑは偶数でなければならない

　ｐ，ｑは公約数２をももつことになり矛盾．よって，3√２は無理数である．

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【１】既約多項式

　有理数Ｑと無理数√２の四則演算を自由に組み合わせて作ることができる数全体の集合は

　　Ｑ［√２］＝｛ａ＋ｂ√２｜ａ，ｂは有理数｝

となるが，有理数Ｑと無理数3√２の四則演算を自由に組み合わせて作ることができる数全体の集合は

　　Ｑ［3√２］＝｛ａ＋ｂ3√２＋ｃ3√４｜ａ，ｂ，ｃは有理数｝

である．√２とは違って，かけ算によって3√２・3√２＝3√４がでてくるからである．

　ところで，ｘ^2−２，ｘ^3−２はＱ上の既約多項式である．

　　ｘ^2−２＝（ａｘ−ｂ）（ｃｘ−ｄ）

と有理数係数の１次式の積として表されるならば，２つの有理数解をもつことになる．これは√２が無理数であるという事実に反する．

　　ｘ^3−２＝（ａｘ−ｂ）（ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ）

と有理数係数の１次式と２次式の積として表されるならば，有理数解ｂ／ａをもつことになる．これは3√２が無理数であるという事実に反する．

　この論法が使えるのは３次以下の多項式の場合のみである．４次以上だと２次以上の式同士の積に表されるので，有理数解をもたなくでも既約多項式でない場合がある．

［例］ｘ^4＋ｘ^2＋１＝（ｘ^2＋１）−ｘ^2＝（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）

　ｘ^3−２がＱ上の既約多項式であることから，Ｑ［3√２］の元をａ＋ｂ3√２＋ｃ3√４と表す表記法は一意であることがいえる．また，逆数も

　　１／（ａ＋ｂ3√２＋ｃ3√４）＝ｄ＋ｅ3√２＋ｆ3√４

の形に表すことができるのである．

［補］ｘ^2−２＝０のＱ［√２］の解はｘ＝±√２であるが，ｘ^3−２＝０のＱ［3√２］の解はω＝（−１＋√−３）／２として，

　　｛3√２，ω3√２，ω^23√２｝

となる．

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【２】4√５＝５^1/4は無理数である

　√５が無理数であることは既知とする．

　　（4√５）^2＝√５

より，もし4√５が有理数ならば，√５は有理数となるので矛盾．

　無理数の有理数倍，無理数の逆数は無理数であるから

　　５^3/4＝５／５^1/4　→　無理数

　　５^5/4＝５・５^1/4　→　無理数

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【３】φ＝（１＋√５）／２＝２ｃｏｓ３６°は無理数である

　ｘは無理数，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数とする．このとき

　　ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ）

は無理数である．なぜなら．ｙが有理数ならば

　　ｘ＝（ｄｙ−ｂ）／（ａ−ｃｙ）

は有理数となり矛盾が生じる．これよりφは無理数である．

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【４】ｌｏｇ10２は無理数である

　有理数，したがって

　　ｌｏｇ10２＝ｐ／ｑ

と書けると仮定すると

　　ｑｌｏｇ10２＝ｐ→２^q＝１０^p＝２^p・５^p

同じ数について２通りの素因数分解ができることになり矛盾．

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【５】α＝√２＋√３は無理数である

　　α−√２＝√３

の両辺を２乗して，√２について解くと

　　√２＝（α^2−１）／２α

αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．

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【６】α＝3√２＋√２は無理数である

　　α−√２＝3√２

の両辺を３乗して，√２について解くと

　　√２＝（α^3＋６α−２）／（３α^2＋２）

αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．

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