［１］一般に与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／７．

［２］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．λ＝μ＝ν＝−２のとき７．

　今回のコラムの問題は，

［Ｑ］三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次分けた点Ｄ，Ｅ，Ｆが作る三角形ＤＥＦがもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

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［１］主要な点の重心座標はＤ（０，λ，１），Ｅ（１，０，λ），Ｆ（λ，１，０）

　ΔＤＥＦ／ΔＡＢＣの面積＝［０，λ，１］／（λ＋１）^3

　　　　　　　　　　　　　　［１，０，λ］

　　　　　　　　　　　　　　［λ，１，０］

＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3＝（λ^2−λ＋１）／（λ＋１）^2

［２］ΔＤＥＦの辺の長さは重心座標の長さの公式から次のようになる．ＤＥの距離の２乗は正規化したＤ，Ｅの重心座標の差［−１，λ，１−λ］（和が０）に公式を適用して

　　ＤＥ^2＝１／（λ＋１）^2×［−１，λ，１−λ］のノルム

　＝１／（λ＋１）^2×［−ａ^2λ（１−λ）＋ｂ^2（１−λ）＋ｃ^2λ］

　＝１／（λ＋１）^2×［ａ^2λ（λ−１）＋ｂ^2（１−λ）＋ｃ^2λ］

　同様に

ＥＦ^2＝１／（λ＋１）^2×［ａ^2λ＋ｂ^2λ（λ−１）＋ｃ^2（１−λ）

ＦＤ^2＝１／（λ＋１）^2×［ａ^2（１−λ）＋ｂ^2λ＋ｃ^2λ（λ−１）］

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］ΔＤＥＦがΔＡＢＣと相似とすると，面積の関係から長さの相似比は

　　　（λ^2−λ＋１）^1/2／（λ＋１）

である．したがって，ＤＥ^2，ＥＦ^2，ＤＦＥ^2は

　　ａ^2，ｂ^2，ｃ^2（λ^2−λ＋１）

のいずれかに等しくなる．すなわち，共通因子を除いて，分子の［・・・］の内の量が

　　（ａ^2，ｂ^2，ｃ^2）（λ^2−λ＋１）

のいずれかに等しくなる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［４］ΔＤＥＦがΔＡＢＣと相似としたとき，どの辺が対応するかが問題ですが，仮に相対する辺が比例するとすると，ＤＥ：ＡＢ＝ＥＦ：ＢＣ＝ＦＤ：ＣＡ，相似比が（λ^2−λ＋１）^1/2／（λ＋１）であることから，（ａ＋１）^2を消去して

　　ａ^2λ（λ−１）＋ｂ^2（１−λ）＋ｃ^2λ＝ｃ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2λ＋ｂ^2λ（λ−１）＋ｃ^2（１−λ）＝ａ^2（λ^2−λ＋１）

　　ａ^2（１−λ）＋ｂ^2λ＋ｃ^2λ（λ−１）＝ｂ^2（λ^2−λ＋１）

を得ます．

　３式を加えると，両辺とも

　　左辺（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（λ^2−λ＋１）

となる．

　この方程式を整理すると，第１式から

　　ａ^2λ（λ−１）−ｂ^2（λ−１）＋ｃ^2（λ−１）^2＝０

したがって，λ＝１（中点をとる）か，または，ａ^2λ−ｂ^2＋ｃ^2（λ−１）＝０を得ます．

　λ≠１なら同様に

　　−ａ^2（λ−１）＋ｂ^2λ−ｃ^2＝０

　　−ａ^2＋ｂ^2（λ−１）＋ｃ^2λ＝０

を得ます（和は０）．これから

　　ａ^2−ｂ^2＝λ（ｃ^2−ｂ^2）

などがでるので，ａ＝ｂ＝ｃ（正三角形）なら文句なし，そうでないと

　　λ＝（ｃ^2−ｂ^2）／（ａ^2−ｂ^2）＝（ａ^2−ｃ^2）／（ｂ^2−ｃ^2）＝（ｂ^2−ａ^2）／（ｃ^2−ａ^2）

などとなりますが，これは分母を払って整理するとａ＝ｂ＝ｃ以外には成立しません．

　すなわち，この場合は元の三角形が正三角形であるが，またはλ＝１（中点）のときに限ります．もっとも直接初等幾何学的に考えた方が早いかもしれません．

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